$x = \frac{1}{\sqrt{10 + \sqrt{96}}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{10 - \sqrt{96}}}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{10 + \sqrt{96}}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{10 - \sqrt{96}}}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ と $y^2$ をそれぞれ計算します。

$x^2 = (\frac{1}{\sqrt{10 + \sqrt{96}}})^2 = \frac{1}{10 + \sqrt{96}}$

$y^2 = (\frac{1}{\sqrt{10 - \sqrt{96}}})^2 = \frac{1}{10 - \sqrt{96}}$

次に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = \frac{1}{10 + \sqrt{96}} + \frac{1}{10 - \sqrt{96}}$

通分して計算します。

$x^2 + y^2 = \frac{10 - \sqrt{96} + 10 + \sqrt{96}}{(10 + \sqrt{96})(10 - \sqrt{96})}$

$x^2 + y^2 = \frac{20}{100 - 96}$

$x^2 + y^2 = \frac{20}{4}$

$x^2 + y^2 = 5$

3. 最終的な答え

5