問題は4つあります。 1. 連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 6x + 8 > 0 \\ x^2 + 2x - 15 \le 0 \end{cases}$ を解け。

1. 問題の内容

問題は4つあります。

1. 連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 6x + 8 > 0 \\ x^2 + 2x - 15 \le 0 \end{cases}$ を解け。

2. 不等式 $x^2 - x - 2 \le |x-1|$ を解け。

3. 不等式 $7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を満たすすべての整数の和を求めよ。

4. 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 連立不等式

まず、$x^2 - 6x + 8 > 0$ を解きます。

$(x - 2)(x - 4) > 0$ より、$x < 2$ または $x > 4$。

次に、$x^2 + 2x - 15 \le 0$ を解きます。

$(x + 5)(x - 3) \le 0$ より、$-5 \le x \le 3$。

したがって、連立不等式の解は $-5 \le x < 2$ または $4 < x \le 3$　（４＜ｘ≦３はありえないので誤り）

-5 ≦ x ＜ 2。

2. 不等式 $x^2 - x - 2 \le |x-1|$

$x \ge 1$ のとき、$x^2 - x - 2 \le x - 1$ より、$x^2 - 2x - 1 \le 0$。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ より、$1 - \sqrt{2} \le x \le 1 + \sqrt{2}$。

$x \ge 1$ より、$1 \le x \le 1 + \sqrt{2}$。

$x < 1$ のとき、$x^2 - x - 2 \le -(x - 1)$ より、$x^2 - 3 \le 0$。

$-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}$。

$x < 1$ より、$-\sqrt{3} \le x < 1$。

したがって、解は $-\sqrt{3} \le x \le 1 + \sqrt{2}$。

3. 不等式 $7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$

$7x - 16 < x^2 - 3x + 7$ より、$x^2 - 10x + 23 > 0$。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 92}}{2} = 5 \pm \sqrt{2}$ より、$x < 5 - \sqrt{2}$ または $x > 5 + \sqrt{2}$。

$x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ より、$x^2 - 11x + 18 \le 0$。

$(x - 2)(x - 9) \le 0$ より、$2 \le x \le 9$。

したがって、$2 \le x < 5 - \sqrt{2}$ または $5 + \sqrt{2} < x \le 9$。

$5 - \sqrt{2} \approx 5 - 1.414 = 3.586$

$5 + \sqrt{2} \approx 5 + 1.414 = 6.414$

整数は $2, 3$ と $7, 8, 9$。

和は $2 + 3 + 7 + 8 + 9 = 29$。

4. 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき

$a < 0$ であり、$ax^2 + 8x + b = a(x + 1)(x - 5) = a(x^2 - 4x - 5) = ax^2 - 4ax - 5a$。

$8 = -4a$ より、$a = -2$。

$b = -5a = -5(-2) = 10$。

3. 最終的な答え

1. $-5 \le x < 2$

2. $-\sqrt{3} \le x \le 1 + \sqrt{2}$

3. 29

4. $a = -2$, $b = 10$