与えられた2つの2次式を、複素数の範囲で因数分解する問題です。 (1) $x^2 - 2x - 1$ (2) $2x^2 - 2x + 3$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次式を、複素数の範囲で因数分解する問題です。

(1) $x^2 - 2x - 1$

(2) $2x^2 - 2x + 3$

2. 解き方の手順

2次式 $ax^2 + bx + c$ を複素数の範囲で因数分解するには、まず2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解 $\alpha, \beta$ を求めます。

その後、 $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解します。

2次方程式の解は、解の公式を用いて求めることができます。

(1) $x^2 - 2x - 1 = 0$ を解く。

解の公式より、

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

よって、$x^2 - 2x - 1 = (x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2})) = (x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})$

(2) $2x^2 - 2x + 3 = 0$ を解く。

解の公式より、

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{4} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{5}}{4} = \frac{1 \pm i\sqrt{5}}{2}$$

よって、$2x^2 - 2x + 3 = 2(x - (\frac{1 + i\sqrt{5}}{2}))(x - (\frac{1 - i\sqrt{5}}{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})$

(2) $2(x - \frac{1 + i\sqrt{5}}{2})(x - \frac{1 - i\sqrt{5}}{2})$