与えられた2つの数列の一般項をそれぞれ求めます。 (1) $2, 10, 24, 44, 70, 102, 140, ...$ (2) $3, 4, 7, 16, 43, 124, ...$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の一般項をそれぞれ求めます。

(1) $2, 10, 24, 44, 70, 102, 140, ...$

(2) $3, 4, 7, 16, 43, 124, ...$

2. 解き方の手順

(1) の数列について:

階差数列を考えます。

元の数列: $2, 10, 24, 44, 70, 102, 140$

第1階差数列: $8, 14, 20, 26, 32, 38$

第2階差数列: $6, 6, 6, 6, 6$

第2階差数列が一定なので、元の数列は2次数列であると予想できます。

一般項を $an^2 + bn + c$ とおきます。

$n=1$ のとき: $a + b + c = 2$

$n=2$ のとき: $4a + 2b + c = 10$

$n=3$ のとき: $9a + 3b + c = 24$

連立方程式を解きます。

(2) - (1): $3a + b = 8$

(3) - (2): $5a + b = 14$

(5) - (4): $2a = 6$

$a = 3$

$3(3) + b = 8$

$9 + b = 8$

$b = -1$

$3 - 1 + c = 2$

$2 + c = 2$

$c = 0$

したがって、一般項は $3n^2 - n$ となります。

(2) の数列について:

階差数列を考えます。

元の数列: $3, 4, 7, 16, 43, 124$

第1階差数列: $1, 3, 9, 27, 81$

第1階差数列は $3^{n-1}$ であることがわかります。

したがって、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$ (n>=2)

$a_n = 3 + \sum_{k=0}^{n-2} 3^{k}$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=0}^{n-2} 3^{k} = \frac{3^{n-1}-1}{3-1} = \frac{3^{n-1}-1}{2}$

$a_n = 3 + \frac{3^{n-1}-1}{2} = \frac{6+3^{n-1}-1}{2} = \frac{3^{n-1}+5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n^2 - n$

(2) $a_n = \frac{3^{n-1}+5}{2}$