問題は2つあります。 問題7: 2つの数 $\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{-3-\sqrt{3}i}{2}$ を解とする2次方程式を作ってください。 問題8: 和が2、積が3となる2つの数を求めてください。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題7: 2つの数 $\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{-3-\sqrt{3}i}{2}$ を解とする2次方程式を作ってください。

問題8: 和が2、積が3となる2つの数を求めてください。

2. 解き方の手順

問題7：

解が$\alpha$と$\beta$である2次方程式は、一般的に $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ で表されます。

まず、与えられた2つの解の和を計算します。

$\alpha + \beta = \frac{-3+\sqrt{3}i}{2} + \frac{-3-\sqrt{3}i}{2} = \frac{-3-3}{2} = -3$

次に、与えられた2つの解の積を計算します。

$\alpha\beta = \frac{-3+\sqrt{3}i}{2} \times \frac{-3-\sqrt{3}i}{2} = \frac{(-3)^2 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{9 - (-3)}{4} = \frac{12}{4} = 3$

したがって、求める2次方程式は、$x^2 - (-3)x + 3 = 0$、つまり $x^2 + 3x + 3 = 0$ となります。

問題8：

2つの数を $a$ と $b$ とします。問題の条件から、

$a + b = 2$

$ab = 3$

$b = 2 - a$ を $ab = 3$ に代入すると、$a(2-a) = 3$

$2a - a^2 = 3$

$a^2 - 2a + 3 = 0$

この2次方程式を解の公式を用いて解きます。

$a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = 1 \pm \sqrt{2}i$

したがって、$a = 1 + \sqrt{2}i$ のとき、$b = 2 - (1 + \sqrt{2}i) = 1 - \sqrt{2}i$

$a = 1 - \sqrt{2}i$ のとき、$b = 2 - (1 - \sqrt{2}i) = 1 + \sqrt{2}i$

求める2つの数は、$1 + \sqrt{2}i$ と $1 - \sqrt{2}i$ です。

3. 最終的な答え

問題7: $x^2 + 3x + 3 = 0$

問題8: $1 + \sqrt{2}i$, $1 - \sqrt{2}i$