与えられた複素数の等式 $ (x+3y) + (2x-y)i = 9 + 4i $ を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた複素数の等式 $(x+3y) + (2x-y)i = 9 + 4i$ を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

複素数の等式では、実部と虚部がそれぞれ等しい。したがって、

$x + 3y = 9$

$2x - y = 4$

という2つの式が得られる。これを連立方程式として解く。

まず、2番目の式を2倍する。

$4x - 2y = 8$

次に、1番目の式を2倍する。

$2x + 6y = 18$

新たに得られた2つの式は、

$4x - 2y = 8$

$2x + 6y = 18$

1番目の式から2番目の式を引いて、$x$ を消去することを試みる。しかし、そのまま引くと $x$ が残るため、2番目の式をさらに2で割って、$x + 3y = 9$とする。すると1番目の式 $x + 3y = 9$ と同じになるため、$y$ を消去することを考える。

2番目の式から $y = 2x - 4$ が得られる。これを1番目の式に代入する。

$x + 3(2x - 4) = 9$

$x + 6x - 12 = 9$

$7x = 21$

$x = 3$

$x = 3$ を $y = 2x - 4$ に代入すると

$y = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$

したがって、$y = 2$

連立方程式を解く別の方法としては、1番目の式から $x = 9 - 3y$ を得る。これを2番目の式に代入する。

$2(9 - 3y) - y = 4$

$18 - 6y - y = 4$

$18 - 7y = 4$

$7y = 14$

$y = 2$

$y = 2$ を $x = 9 - 3y$ に代入すると

$x = 9 - 3(2) = 9 - 6 = 3$

したがって、$x = 3$

3. 最終的な答え

$x = 3$, $y = 2$