$(3x+2)^4$ の展開式における $x^1$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x+2)^4$ の展開式における $x^1$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は次の式で表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題では、$a = 3x$, $b = 2$, $n = 4$ です。

$x^1$ の項は、$k=3$ のときにあらわれます。その項は次のようになります。

$\binom{4}{3} (3x)^{4-3} (2)^3 = \binom{4}{3} (3x)^1 (2)^3$

$\binom{4}{3}$ は二項係数であり、$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4$ です。

したがって、$x^1$ の項は、

$4 \cdot (3x) \cdot (2^3) = 4 \cdot 3x \cdot 8 = 96x$ となります。

3. 最終的な答え

$x^1$ の係数は $96$ です。