与えられた４つの式をそれぞれ計算する問題です。 (1) $\frac{2x}{x+2} + \frac{4}{x+2}$ (2) $\frac{x^2}{x+3} - \frac{9}{x+3}$ (3) $\frac{3}{x^2+x-2} - \frac{2}{x^2-1}$ (4) $\frac{1 + \frac{3}{x-1}}{1 + \frac{1}{x+1}}$

## 画像の数学の問題の解答

1. 問題の内容

与えられた４つの式をそれぞれ計算する問題です。

(1) $\frac{2x}{x+2} + \frac{4}{x+2}$

(2) $\frac{x^2}{x+3} - \frac{9}{x+3}$

(3) $\frac{3}{x^2+x-2} - \frac{2}{x^2-1}$

(4) $\frac{1 + \frac{3}{x-1}}{1 + \frac{1}{x+1}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が同じなので、分子を足し合わせます。

$\frac{2x}{x+2} + \frac{4}{x+2} = \frac{2x + 4}{x+2}$

分子を2でくくります。

$\frac{2(x+2)}{x+2}$

分子と分母で $(x+2)$ を約分します。

$\frac{2(x+2)}{x+2} = 2$

(2) 分母が同じなので、分子を引き算します。

$\frac{x^2}{x+3} - \frac{9}{x+3} = \frac{x^2 - 9}{x+3}$

分子を因数分解します。

$\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}$

分子と分母で $(x+3)$ を約分します。

$\frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x-3$

(3) 分母をそれぞれ因数分解します。

$\frac{3}{x^2+x-2} - \frac{2}{x^2-1} = \frac{3}{(x+2)(x-1)} - \frac{2}{(x+1)(x-1)}$

通分するために、それぞれの分数の分子と分母に適切な式をかけます。

$\frac{3(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+1)} - \frac{2(x+2)}{(x+1)(x-1)(x+2)}$

共通の分母でまとめます。

$\frac{3(x+1) - 2(x+2)}{(x+2)(x-1)(x+1)}$

分子を展開し、整理します。

$\frac{3x + 3 - 2x - 4}{(x+2)(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{(x+2)(x-1)(x+1)}$

分子と分母で $(x-1)$ を約分します。

$\frac{x-1}{(x+2)(x-1)(x+1)} = \frac{1}{(x+2)(x+1)} = \frac{1}{x^2+3x+2}$

(4) 分子の分母と分母の分母をそれぞれ通分して整理します。

$\frac{1 + \frac{3}{x-1}}{1 + \frac{1}{x+1}} = \frac{\frac{x-1+3}{x-1}}{\frac{x+1+1}{x+1}} = \frac{\frac{x+2}{x-1}}{\frac{x+2}{x+1}}$

分数の割り算は、割る数を逆数にしてかけ算します。

$\frac{x+2}{x-1} \cdot \frac{x+1}{x+2}$

分子と分母で $(x+2)$ を約分します。

$\frac{x+2}{x-1} \cdot \frac{x+1}{x+2} = \frac{x+1}{x-1}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $x-3$

(3) $\frac{1}{x^2+3x+2}$

(4) $\frac{x+1}{x-1}$