$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos{2\theta} < \cos{\theta}$ を解け。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos{2\theta} < \cos{\theta}$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、$\cos{2\theta}$を$\cos{\theta}$で表します。$\cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta} - 1$ なので、与えられた不等式は以下のようになります。

$2\cos^2{\theta} - 1 < \cos{\theta}$

これを整理すると

$2\cos^2{\theta} - \cos{\theta} - 1 < 0$

さらに因数分解すると

$(2\cos{\theta} + 1)(\cos{\theta} - 1) < 0$

ここで、$\cos{\theta}$ の範囲を考えます。

$\cos{\theta}$ は常に1以下であるため、$\cos{\theta} - 1 \leq 0$ となります。したがって、不等式を満たすには $2\cos{\theta} + 1 > 0$ でなければなりません。

つまり、 $\cos{\theta} > -\frac{1}{2}$ かつ $\cos{\theta} - 1 < 0$ であれば良いことになります。$\cos{\theta} - 1 = 0$ となるのは $\theta = 0$ の時だけですが、$\theta = 0$ の時は $cos(2\theta) = 1$ と $cos(\theta) = 1$ となり不等式を満たしません。したがって、$cos{\theta} - 1 < 0$ となります。

$\cos{\theta} > -\frac{1}{2}$ を満たす$\theta$ の範囲は、単位円を考えると $\theta$ が $\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi$ を満たさない場合です。

したがって、$0 \le \theta < \frac{2}{3}\pi$ または $\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$ が求める解となります。

3. 最終的な答え

$0 \le \theta < \frac{2}{3}\pi$, $\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$