与えられた複素数や根号を含む9つの式を計算し、簡略化します。

はい、承知いたしました。以下の形式で、画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた複素数や根号を含む9つの式を計算し、簡略化します。

2. 解き方の手順

(1) $(-1+2i)+(3-4i)$

実部と虚部をそれぞれ足し合わせます。

$(-1+3) + (2i-4i) = 2-2i$

(2) $(6+4i)-(3+2i)$

実部と虚部をそれぞれ引き算します。

$(6-3) + (4i-2i) = 3+2i$

(3) $(1-2i)(5+2i)$

複素数の積を計算します。

$(1)(5) + (1)(2i) + (-2i)(5) + (-2i)(2i) = 5 + 2i - 10i - 4i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$5 - 8i - 4(-1) = 5 - 8i + 4 = 9 - 8i$

(4) $\frac{2-i}{2+i}$

分母の共役複素数 $2-i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4 - 4i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 - 4i - 1}{4 - (-1)} = \frac{3-4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(5) $(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2})^2$

$(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2})^2 = \frac{(-1+\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{(-1)^2 + 2(-1)(\sqrt{3}i) + (\sqrt{3}i)^2}{4}$

$= \frac{1 - 2\sqrt{3}i + 3i^2}{4} = \frac{1 - 2\sqrt{3}i - 3}{4} = \frac{-2 - 2\sqrt{3}i}{4} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(6) $i+i^2+i^3+i^4$

$i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$ なので、

$i + (-1) + (-i) + 1 = i - 1 - i + 1 = 0$

(7) $\sqrt{-2}\sqrt{-6}$

$\sqrt{-2}\sqrt{-6} = \sqrt{(-2)(-6)} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}i^2 = -2\sqrt{3}$

(8) $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{-5}}$

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{-5}} = \frac{\sqrt{9 \times 5}}{\sqrt{5}i} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}i} = \frac{3}{i} = \frac{3i}{i^2} = \frac{3i}{-1} = -3i$

(9) $(1+\sqrt{-2})(3-\sqrt{-8})$

$(1+\sqrt{-2})(3-\sqrt{-8}) = (1 + i\sqrt{2})(3 - i\sqrt{8}) = (1 + i\sqrt{2})(3 - 2i\sqrt{2}) = 3 - 2i\sqrt{2} + 3i\sqrt{2} -4i^2 = 3 + i\sqrt{2} + 4 = 7 + i\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2 - 2i$

(2) $3 + 2i$

(3) $9 - 8i$

(4) $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(5) $-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(6) $0$

(7) $-2\sqrt{3}$

(8) $-3i$

(9) $7 + i\sqrt{2}$