任意の $3 \times n$ 行列 $A$ に対して、左からある行列を掛けることで、$A$ の第1行と第3行が入れ替わるような基本行列を求める問題です。

1. 問題の内容

任意の $3 \times n$ 行列 $A$ に対して、左からある行列を掛けることで、$A$ の第1行と第3行が入れ替わるような基本行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

第1行と第3行を入れ替える操作は、行列の左から基本行列を掛けることで実現できます。具体的には、$3 \times 3$ の単位行列

$$

I = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

の第1行と第3行を入れ替えた行列を考えます。

この操作を行う行列を $P$ とすると、

$$

P = \begin{bmatrix}

0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

となります。

この行列 $P$ を任意の $3 \times n$ 行列 $A$ に左から掛けると、

$$

PA = \begin{bmatrix}

0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

ア & イ & ウ & \cdots \\

エ & オ & カ & \cdots \\

キ & ク & ケ & \cdots

\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}

キ & ク & ケ & \cdots \\

エ & オ & カ & \cdots \\

ア & イ & ウ & \cdots

\end{bmatrix}

$$

となり、$A$ の第1行と第3行が入れ替わります。

3. 最終的な答え

求めたい基本行列は、

$$

\begin{bmatrix}

0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

なので、解答欄に埋めるべき内容は以下の通りです。

| 0 | 0 | 1 |

|---|---|---|

| 0 | 1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |