全体集合を実数全体 $U = \{x | x \text{は実数}\}$ とします。部分集合 $A$ と $B$ が次のように定義されています。 $A = \{x | 3 \le x \le 7\}$ $B = \{x | 5 < x < 10\}$ このとき、以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合を実数全体 $U = \{x | x \text{は実数}\}$ とします。部分集合 $A$ と $B$ が次のように定義されています。

$A = \{x | 3 \le x \le 7\}$

$B = \{x | 5 < x < 10\}$

このとき、以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分を表します。

$A = \{x | 3 \le x \le 7\}$

$B = \{x | 5 < x < 10\}$

共通部分は、$5 < x \le 7$ となります。

(2) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合を表します。

$A = \{x | 3 \le x \le 7\}$

$B = \{x | 5 < x < 10\}$

和集合は、$3 \le x < 10$ となります。

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めます。まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。

$\overline{A} = \{x | x < 3 \text{ または } x > 7\}$

$\overline{B} = \{x | x \le 5 \text{ または } x \ge 10\}$

$\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合なので、$x < 3$ または $x \ge 10$ または $7 < x \le 5$ がなりたつので、$x \le 5$ と $x > 7$ を合わせて考えると、$x < 3$ または $x > 7$となります。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{x | x < 3 \text{ または } x \ge 10 \text{ または } 5 < x \le 7 \}$を計算すると $x < 3$ または $x > 5$ になります。したがって、$\overline{A} \cup \overline{B}$は、$x < 3$ または $x \ge 10$ または $x \le 5$ のいずれかを満たす $x$ の集合。整理すると、$x < 3$ または $x \ge 10$ となります。

なので、$x \le 5$と$x>7$を考えると、$\overline{A} \cup \overline{B} = \{ x| x < 3 \text{ または } x \ge 10 \text{ または } x < 3 \text{ または } x \ge 10 \} = \{x | x< 3 \text{ または } x > 5\}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めます。

$\overline{A} = \{x | x < 3 \text{ または } x > 7\}$

$\overline{B} = \{x | x \le 5 \text{ または } x \ge 10\}$

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$x < 3$ または $x \ge 10$となります。したがって、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{ x| x< 3 \text{ または } x > 7 \text{ かつ } x < 5 \text{ または } x>10 \}$を計算すると、$x<3$ または $x \ge 10$になります。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{ x| x< 3\} \cup\{x| x > 10\}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | 5 < x \le 7\}$

(2) $A \cup B = \{x | 3 \le x < 10\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{x | x < 3 \text{ または } x > 5\}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | x < 3 \text{ または } x \ge 10\}$