与えられた漸化式と初期条件から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は (4) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = -2a_n + 6$ の場合を解きます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式と初期条件から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は (4) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = -2a_n + 6$ の場合を解きます。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = -2a_n + 6$ を変形して、等比数列の形に持ち込みます。

$a_{n+1} - \alpha = -2(a_n - \alpha)$ となるような $\alpha$ を探します。

この式を展開すると、 $a_{n+1} = -2a_n + 2\alpha + \alpha = -2a_n + 3\alpha$ となります。

元の漸化式と比較すると、 $3\alpha = 6$ となるので、 $\alpha = 2$ です。

したがって、$a_{n+1} - 2 = -2(a_n - 2)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = -2b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 $-2$ の等比数列です。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 - 2 = 0 - 2 = -2$ です。

したがって、$b_n = -2 \cdot (-2)^{n-1} = -(-2)^n$ となります。

$a_n = b_n + 2$ なので、$a_n = -(-2)^n + 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = -(-2)^n + 2$