$(3x+2)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x+2)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(3x+2)^4$ を展開します。二項定理は、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

です。

この問題では、$a = 3x$, $b = 2$, $n = 4$ です。$x^3$ の係数を求めるので、$n-k=3$ となる $k$ の値を求めます。

$4-k=3$ より、$k=1$ です。

したがって、$x^3$ の項は、

$\binom{4}{1} (3x)^{4-1} 2^1 = \binom{4}{1} (3x)^3 (2)$

です。

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (3 \times 2 \times 1)} = 4$

$(3x)^3 = 27x^3$

なので、$x^3$ の項は、

$4 \times 27x^3 \times 2 = 216x^3$

したがって、$x^3$ の係数は $216$ です。

3. 最終的な答え

216