(1) $0 < a < b < c$ かつ $a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1$とする。関数 $y = a^x, y = b^x, y = c^x$のグラフが通る点と、$0 < a < 1 < b < c$ および $1 < a < b < c$ のときの $y = a^x, y = b^x, y = c^x$ のグラフの概形を選択する問題です。 (2) $2^3, 3^2, 5^5$の大小関係を求める問題です。 (3) 正の実数$p, q, r$は$2^p = 3^q = 5^r$を満たすとき、$2p, 3q, 5r$ の大小関係を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

(1) $0 < a < b < c$ かつ $a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1$とする。関数 $y = a^x, y = b^x, y = c^x$のグラフが通る点と、$0 < a < 1 < b < c$ および $1 < a < b < c$ のときの $y = a^x, y = b^x, y = c^x$ のグラフの概形を選択する問題です。

(2) $2^3, 3^2, 5^5$の大小関係を求める問題です。

(3) 正の実数$p, q, r$は$2^p = 3^q = 5^r$を満たすとき、$2p, 3q, 5r$ の大小関係を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

$y = a^x, y = b^x, y = c^x$はすべて $(0, 1)$ を通ります。

$0 < a < 1 < b < c$ のとき、$y = a^x$は単調減少、$y = b^x, y = c^x$は単調増加で、$x=0$で交わるグラフは①です。

$1 < a < b < c$ のとき、$y = a^x, y = b^x, y = c^x$はすべて単調増加で、$x=0$で交わるグラフは④です。

(2)

$2^3 = 8$

$3^2 = 9$

$5^1 = 5$

したがって、$5^1 < 2^3 < 3^2$

(3)

$2^p = 3^q = 5^r$なので、$2 = (3^q)^{\frac{1}{p}}, 5 = (3^q)^{\frac{1}{r}}$となります。

よって、$2 = 3^{\frac{q}{p}}, 5 = 3^{\frac{q}{r}}$ となります。

$2 = (5^r)^{\frac{1}{p}}$なので$2=(\sqrt[r]{5})^{\frac{1}{p}}$となるので$2=\sqrt[p]{5}$

$2^p=3^q=5^r$より、$2^p = 3^q$、$3^q = 5^r$、$2^p = 5^r$

$2^p = 3^q$より、$2 = 3^{\frac{q}{p}}$

$3^q = 5^r$より、$3 = 5^{\frac{r}{q}}$

$2^p = 5^r$より、$2 = 5^{\frac{r}{p}}$

ここで、$3 = 5^{\frac{r}{q}}$より、$3q = 5^{\frac{r}{q} \cdot q} = 5^r$ となるので、$3q = 5^r$

$2^p = 3^q$より、$2^p = 3q$

よって、$2^p = 3q = 5^r$が成立します。

両辺の対数を取ると

$p\log2 = q\log3 = r\log5$

$2^p = 3^q$より、$p\log2 = q\log3$なので、$2p\log2 = 2q\log3$

$3^q = 5^r$より、$q\log3 = r\log5$なので、$3q\log3 = 3r\log5$

$2^p = 5^r$より、$p\log2 = r\log5$なので、$5p\log2 = 5r\log5$

$2^p = 3^q = 5^r$の指数部分だけを見ると、$2p, 3q, 5r$の大小関係は、$3q = 5r$より、$5r < 2p < 3q$が成り立ちます。

$2p = 2q\frac{\log3}{\log2} = 3q$となるので、$2p < 3q$

$5r = 5q\frac{\log3}{\log5} = 3q$となるので、$5r < 3q$

よって、$5r < 2p < 3q$

3. 最終的な答え

(1)

ア: 1

イ: 1

ウ: 4

(2)

エ: 0

オ: 1

(3)

カ: 5