与えられた式 $x^4 - 6x^2 - 27$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 6x^2 - 27$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = y$ とおくと、与えられた式は

$y^2 - 6y - 27$

となる。

この2次式を因数分解する。掛け算して-27、足し算して-6になる2つの数は、3と-9である。したがって、

$y^2 - 6y - 27 = (y + 3)(y - 9)$

ここで、$y = x^2$ を代入する。

$(x^2 + 3)(x^2 - 9)$

$x^2 - 9$ はさらに因数分解できる。なぜなら、$x^2 - 9 = x^2 - 3^2$ であり、これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ という公式を利用できるからである。

したがって、$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ となる。

よって、

$(x^2 + 3)(x^2 - 9) = (x^2 + 3)(x + 3)(x - 3)$

となる。

3. 最終的な答え

$(x^2 + 3)(x + 3)(x - 3)$