数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について $a_n$ を求めます。 (1) $S_n = 3n^2 + 5n$ (2) $S_n = 3n^2 + 4n + 2$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について $a_n$ を求めます。

(1) $S_n = 3n^2 + 5n$

(2) $S_n = 3n^2 + 4n + 2$

2. 解き方の手順

$S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ は以下の手順で求めます。

(1) $n=1$ のとき、$a_1 = S_1$ となります。

(2) $n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ となります。

(3) (2)で求めた式に $n=1$ を代入し、(1)で求めた $a_1$ と一致するか確認します。一致する場合は、$n \geq 1$ で成り立つ一般項となります。一致しない場合は、$n=1$ のときのみ別の表現が必要になります。

(1) $S_n = 3n^2 + 5n$ の場合

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 3(1)^2 + 5(1) = 3 + 5 = 8$ です。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ なので、

$a_n = (3n^2 + 5n) - [3(n-1)^2 + 5(n-1)]$

$a_n = (3n^2 + 5n) - [3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5]$

$a_n = (3n^2 + 5n) - (3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5)$

$a_n = 3n^2 + 5n - 3n^2 + 6n - 3 - 5n + 5$

$a_n = 6n + 2$

$a_n = 6n + 2$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 6(1) + 2 = 8$ となり、$S_1$ と一致します。したがって、$n \geq 1$ で $a_n = 6n + 2$ が成り立ちます。

(2) $S_n = 3n^2 + 4n + 2$ の場合

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 3(1)^2 + 4(1) + 2 = 3 + 4 + 2 = 9$ です。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ なので、

$a_n = (3n^2 + 4n + 2) - [3(n-1)^2 + 4(n-1) + 2]$

$a_n = (3n^2 + 4n + 2) - [3(n^2 - 2n + 1) + 4n - 4 + 2]$

$a_n = (3n^2 + 4n + 2) - (3n^2 - 6n + 3 + 4n - 4 + 2)$

$a_n = 3n^2 + 4n + 2 - 3n^2 + 6n - 3 - 4n + 4 - 2$

$a_n = 6n + 1$

$a_n = 6n + 1$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 6(1) + 1 = 7$ となり、$S_1 = 9$ と一致しません。

したがって、$n=1$ のとき $a_1 = 9$ で、$n \geq 2$ のとき $a_n = 6n + 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 6n + 2$

(2) $a_1 = 9$, $a_n = 6n + 1$ ($n \geq 2$)

または

$a_n = \begin{cases} 9 & (n=1) \\ 6n+1 & (n \geq 2) \end{cases}$