与えられた式を計算し、簡略化します。式は以下の通りです。 $\frac{1}{x(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+6)} + \frac{1}{(x+6)(x+9)}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、簡略化します。式は以下の通りです。

$\frac{1}{x(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+6)} + \frac{1}{(x+6)(x+9)}$

2. 解き方の手順

部分分数分解を利用して、各項を分解します。

$\frac{1}{x(x+3)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3})$

$\frac{1}{(x+3)(x+6)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+6})$

$\frac{1}{(x+6)(x+9)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{x+6} - \frac{1}{x+9})$

これらの式を元の式に代入すると、

$\frac{1}{3}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3}) + \frac{1}{3}(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+6}) + \frac{1}{3}(\frac{1}{x+6} - \frac{1}{x+9})$

$\frac{1}{3}$でくくり、式を整理すると、

$\frac{1}{3} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+6} + \frac{1}{x+6} - \frac{1}{x+9})$

括弧内の項を簡略化すると、 $\frac{1}{x+3}$ と $\frac{1}{x+6}$ が打ち消し合い、以下のようになります。

$\frac{1}{3}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+9})$

$\frac{1}{3}(\frac{(x+9)-x}{x(x+9)}) = \frac{1}{3}(\frac{9}{x(x+9)})$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{x(x+9)} = \frac{3}{x(x+9)}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{x(x+9)}$