$\sum_{k=1}^{7} (2k + 4 - 3k^2)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{7} (2k + 4 - 3k^2)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{7} (2k + 4 - 3k^2) = \sum_{k=1}^{7} 2k + \sum_{k=1}^{7} 4 - \sum_{k=1}^{7} 3k^2$

$= 2\sum_{k=1}^{7} k + 4\sum_{k=1}^{7} 1 - 3\sum_{k=1}^{7} k^2$

次に、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を用いて、各シグマを計算します。

$\sum_{k=1}^{7} k = \frac{7(7+1)}{2} = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28$

$\sum_{k=1}^{7} 1 = 7$

$\sum_{k=1}^{7} k^2 = \frac{7(7+1)(2 \cdot 7 + 1)}{6} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6} = \frac{7 \cdot 4 \cdot 5}{1} = 140$

これらの値を元の式に代入します。

$2\sum_{k=1}^{7} k + 4\sum_{k=1}^{7} 1 - 3\sum_{k=1}^{7} k^2 = 2(28) + 4(7) - 3(140) = 56 + 28 - 420 = 84 - 420 = -336$

3. 最終的な答え

-336