次の和を求めよ。 $3\cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + \dots + 3n(n+1)$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$3\cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + \dots + 3n(n+1)$

2. 解き方の手順

与えられた数列の一般項を$a_k$とおくと、

$a_k = 3k(k+1)$

となる。よって、求める和は、

$\sum_{k=1}^{n} 3k(k+1) = 3\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = 3\sum_{k=1}^{n} (k^2+k) = 3(\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k)$

となる。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、求める和は

$3(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}) = 3(\frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6}) = \frac{n(n+1)}{2} (2n+1+3) = \frac{n(n+1)}{2} (2n+4) = n(n+1)(n+2)$

3. 最終的な答え

$n(n+1)(n+2)$