$\sum_{k=1}^{n} 8 \cdot 3^{2k+1}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 8 \cdot 3^{2k+1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、定数項をシグマの外に出し、$3^{2k+1}$ を $3^{2k} \cdot 3$ に分解します。

$$\sum_{k=1}^{n} 8 \cdot 3^{2k+1} = 8 \sum_{k=1}^{n} 3^{2k+1} = 8 \sum_{k=1}^{n} 3^{2k} \cdot 3 = 24 \sum_{k=1}^{n} (3^2)^k = 24 \sum_{k=1}^{n} 9^k$$

$\sum_{k=1}^{n} 9^k$ は初項9、公比9の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を利用します。

$$\sum_{k=1}^{n} 9^k = \frac{9(9^n - 1)}{9-1} = \frac{9(9^n - 1)}{8}$$

したがって、

$$24 \sum_{k=1}^{n} 9^k = 24 \cdot \frac{9(9^n - 1)}{8} = 3 \cdot 9(9^n - 1) = 27(9^n - 1) = 27 \cdot 9^n - 27$$

3. 最終的な答え

$27 \cdot 9^n - 27$