初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

この漸化式は $a_{n+1} = pa_n + q$ の形なので、特性方程式を利用して解きます。

まず、特性方程式 $x = 3x + 2$ を解きます。

$x = 3x + 2$ より、 $-2x = 2$ となり、$x = -1$ を得ます。

次に、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ から $a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$ を作ります。

$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比3の等比数列になります。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$ です。

したがって、$b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ となります。

$b_n = a_n + 1$ より、$a_n = b_n - 1$ なので、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$