$z^6 = -1$ を満たす複素数 $z$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$z^6 = -1$ を満たす複素数 $z$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を極形式で $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表します。

すると、$z^6$ はド・モアブルの定理により以下のように表されます。

$z^6 = r^6 (\cos(6\theta) + i\sin(6\theta))$

問題文より $z^6 = -1$ なので、

$r^6 (\cos(6\theta) + i\sin(6\theta)) = -1 = 1(\cos\pi + i\sin\pi)$

絶対値と偏角を比較すると、

$r^6 = 1$ より $r = 1$ (なぜなら $r$ は絶対値なので正の実数)

$6\theta = \pi + 2n\pi$ ($n$ は整数)

したがって、

$\theta = \frac{\pi + 2n\pi}{6} = \frac{(2n+1)\pi}{6}$

$n=0, 1, 2, 3, 4, 5$ に対して異なる解が得られます。

$n=0$ のとき $\theta = \frac{\pi}{6}$

$n=1$ のとき $\theta = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$n=2$ のとき $\theta = \frac{5\pi}{6}$

$n=3$ のとき $\theta = \frac{7\pi}{6}$

$n=4$ のとき $\theta = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

$n=5$ のとき $\theta = \frac{11\pi}{6}$

よって、6つの解は以下のようになります。

$z_0 = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$z_1 = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i$

$z_2 = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$z_3 = \cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

$z_4 = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -i$

$z_5 = \cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

3. 最終的な答え

$z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i, -i, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$