次の4つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{3}{\sqrt{5}}$ (2) $\frac{3}{\sqrt{3}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ (4) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

1. 問題の内容

次の4つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{3}{\sqrt{5}}$

(2) $\frac{3}{\sqrt{3}}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

(4) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が$\sqrt{5}$なので、分母と分子に$\sqrt{5}$をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

(2) 分母が$\sqrt{3}$なので、分母と分子に$\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

(3) 分母が$\sqrt{5}-\sqrt{2}$なので、分母と分子に$\sqrt{5}+\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$

(4) 分母が$\sqrt{3}+1$なので、分母と分子に$\sqrt{3}-1$をかけます。

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1) \times (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) \times (\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

(2) $\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$

(4) $2 - \sqrt{3}$