与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$x^2 + (3-y)x - (6y^2 - y - 2)$

次に、定数項 $-(6y^2 - y - 2)$ を因数分解します。

$6y^2 - y - 2 = (2y+1)(3y-2)$

したがって、定数項は $-(2y+1)(3y-2)$ となります。

このとき、$x$ の係数である $(3-y)$ を作り出すように、定数項の因子を組み合わせて考えます。

$(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定すると、

$a+c = -6$, $ac = -6$, $b+d=3$, $ad+bc = 1$, $bd = 2$

となるような $a,b,c,d$ を探します。

与えられた式を以下のように因数分解できると仮定します。

$(x + 2y + 1)(x - 3y + 2)$

これを展開すると、

$x^2 - 3xy + 2x + 2xy - 6y^2 + 4y + x - 3y + 2 = x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$

となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(x + 2y + 1)(x - 3y + 2)$