画像に示された3つの問題について、それぞれ方程式または不等式を解く。 (1) $x^2 - |x| - 6 < 0$ (2) $|x+3| + |3x-1| > 6$ (3) $|(x-2)(x+3)| = x+3$

1. 問題の内容

画像に示された3つの問題について、それぞれ方程式または不等式を解く。

(1) $x^2 - |x| - 6 < 0$

(2) $|x+3| + |3x-1| > 6$

(3) $|(x-2)(x+3)| = x+3$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - |x| - 6 < 0$

$|x| = t$とおくと、$t \ge 0$

$t^2 - t - 6 < 0$

$(t-3)(t+2) < 0$

$-2 < t < 3$

$t \ge 0$より、$0 \le t < 3$

$0 \le |x| < 3$

$-3 < x < 3$

(2) $|x+3| + |3x-1| > 6$

$x<-3$のとき、$-(x+3) - (3x-1) > 6$

$-x-3-3x+1 > 6$

$-4x - 2 > 6$

$-4x > 8$

$x < -2$

よって、$x < -3$

$-3 \le x < \frac{1}{3}$のとき、$x+3 - (3x-1) > 6$

$x+3 - 3x + 1 > 6$

$-2x + 4 > 6$

$-2x > 2$

$x < -1$

よって、$-3 \le x < -1$

$x \ge \frac{1}{3}$のとき、$x+3 + 3x-1 > 6$

$4x + 2 > 6$

$4x > 4$

$x > 1$

よって、$x > 1$

したがって、$x < -3$または$-3 \le x < -1$または$x > 1$

つまり、$x < -1$または$x > 1$

(3) $|(x-2)(x+3)| = x+3$

$|(x-2)(x+3)| = |x-2||x+3|$なので、$|x-2||x+3| = x+3$

$x+3 = 0$, つまり$x = -3$のとき、成り立つ。

$x+3 \neq 0$のとき、$|x-2| = \frac{x+3}{|x+3|}$

$|x-2| = 1$

$x-2 = 1$または$x-2 = -1$

$x=3$または$x=1$

3. 最終的な答え

(1) $-3 < x < 3$

(2) $x < -1$または$x > 1$

(3) $x=-3, 1, 3$