与えられた式 $6x^2 + 5xy + y^2 + x + y - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + 5xy + y^2 + x + y - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解します。まず、$x$ について整理してみます。

$6x^2 + (5y+1)x + (y^2+y-2)$

次に、定数項 $y^2+y-2$ を因数分解します。

$y^2+y-2 = (y+2)(y-1)$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$6x^2 + (5y+1)x + (y+2)(y-1)$

この式を $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形に因数分解できると仮定して、$a,b,c,d,e,f$ を求めます。$x^2$の項が $6x^2$ であることから、$a$ と $d$ は $a \times d = 6$ を満たす必要があります。また、$y^2$の項が $y^2$であることから、$b$ と $e$ は $b \times e = 1$ を満たす必要があります。

ここで、$a=2$, $d=3$ と $b=1$, $e=1$ を試してみます。すると、$(2x+y+c)(3x+y+f)$ となります。

このとき、$cf = -2$ であり、$(2f+3c)x = x$ なので、$2f+3c = 1$ であり、$y(c+f) = y$ なので、$c+f = 1$ となります。

$2f+3c=1$

$c+f=1$

この連立方程式を解くと、$f=1-c$ より

$2(1-c)+3c=1$

$2-2c+3c=1$

$c = -1$

よって、$f=1-(-1)=2$ となります。

したがって、$c=-1$, $f=2$ です。

$(2x+y-1)(3x+y+2)$

実際に展開してみると、

$(2x+y-1)(3x+y+2) = 6x^2+2xy+4x+3xy+y^2+2y-3x-y-2 = 6x^2+5xy+y^2+x+y-2$

となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2x+y-1)(3x+y+2)$