与えられた方程式、不等式を解き、極限値を求め、関数の導関数を求める問題です。具体的には以下の内容です。 1. 方程式と不等式を解く： * (1) $1/(3^x) < 1/(3\sqrt{3})$ * (2) $2\log_{10}(x-2) = \log_{10}9$ * (3) $-1 \le \tan x < \sqrt{3} \quad (0 \le x \le 2\pi)$ * (4) $\cos^{-1} x = 3 \sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた方程式、不等式を解き、極限値を求め、関数の導関数を求める問題です。具体的には以下の内容です。

1. 方程式と不等式を解く：

* (1) $1/(3^x) < 1/(3\sqrt{3})$

* (2) $2\log_{10}(x-2) = \log_{10}9$

* (3) $-1 \le \tan x < \sqrt{3} \quad (0 \le x \le 2\pi)$

* (4) $\cos^{-1} x = 3 \sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 極限を求める：

* (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 6x^2 + x^3}{2 - 5x^3}$

* (2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$

* (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$

* (4) $\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{1/x}$

* (5) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x + 1)$

3. 導関数を求める：

* (1) $y = (2x^3 + 1)^5$

* (2) $y = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}$

* (3) $y = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

* (4) $y = \frac{1 + \sin x}{\cos x}$

* (5) $y = e^{2x} \cos x$

2. 解き方の手順

1. 方程式と不等式を解く：

(1) $1/(3^x) < 1/(3\sqrt{3})$

$3^x > 3\sqrt{3} = 3^{3/2}$

$x > 3/2$

(2) $2\log_{10}(x-2) = \log_{10}9$

$\log_{10}(x-2)^2 = \log_{10}9$

$(x-2)^2 = 9$

$x-2 = \pm 3$

$x = 5, -1$

ただし、$\log_{10}(x-2)$ が定義されるためには $x-2 > 0$ でなければならないので、$x > 2$。したがって、$x = 5$。

(3) $-1 \le \tan x < \sqrt{3} \quad (0 \le x \le 2\pi)$

$\tan x = -1$ となるのは $x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

$\tan x = \sqrt{3}$ となるのは $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

したがって、解は $\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{3} + \pi$ または　$\frac{7\pi}{4} \le x < \frac{4\pi}{3} + \pi$

$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{4} \le x < \frac{7\pi}{3}$

したがって、$\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{4\pi}{3}$ と $\frac{7\pi}{4} \le x < 2\pi$の範囲

(4) $\cos^{-1} x = 3 \sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$

$\cos^{-1} x = 3 \times \frac{\pi}{3} = \pi$

$x = \cos \pi = -1$

2. 極限を求める：

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 6x^2 + x^3}{2 - 5x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3(3/x^2 - 6/x + 1)}{x^3(2/x^3 - 5)} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{\cos 2x} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$

(4) $\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{1/x}$

$y = (1+3x)^{1/x}$

$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+3x)$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{x}$

ロピタルの定理より $\lim_{x \to 0} \frac{3/(1+3x)}{1} = 3$

$\lim_{x \to 0} \ln y = 3$

$\lim_{x \to 0} y = e^3$

(5) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x + 1)$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x + 1)(\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x - 1)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x - 3 - (x-1)^2}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x - 3 - (x^2 - 2x + 1)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x - 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(4 - 4/x)}{x(\sqrt{1 + 2/x - 3/x^2} + 1 - 1/x)} = \frac{4}{1 + 1} = 2$

3. 導関数を求める：

(1) $y = (2x^3 + 1)^5$

$y' = 5(2x^3 + 1)^4 \cdot 6x^2 = 30x^2 (2x^3 + 1)^4$

(2) $y = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}$

$y' = \frac{1}{2} + \frac{2\cos 2x}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

(3) $y = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} - 1)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} (\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}$

(4) $y = \frac{1 + \sin x}{\cos x}$

$y' = \frac{\cos x \cdot \cos x - (1 + \sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 + \sin x}{\cos^2 x}$

(5) $y = e^{2x} \cos x$

$y' = 2e^{2x} \cos x + e^{2x} (-\sin x) = e^{2x} (2\cos x - \sin x)$

3. 最終的な答え

1. 方程式と不等式：

* (1) $x > \frac{3}{2}$

* (2) $x = 5$

* (3) $\frac{3\pi}{4} \le x < \frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{4} \le x < 2\pi$

* (4) $x = -1$

2. 極限：

* (1) $-\frac{1}{5}$

* (2) $12$

* (3) $2$

* (4) $e^3$

* (5) $2$

3. 導関数：

* (1) $y' = 30x^2 (2x^3 + 1)^4$

* (2) $y' = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

* (3) $y' = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}$

* (4) $y' = \frac{1 + \sin x}{\cos^2 x}$

* (5) $y' = e^{2x} (2\cos x - \sin x)$