関数 $F(x) = \int_0^x (at^2 + bt + c) dt + d$ が $x = -1$ で極大値 $\frac{17}{3}$ をとり, $x = 3$ で極小値 $-5$ をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $F(x) = \int_0^x (at^2 + bt + c) dt + d$ が $x = -1$ で極大値 $\frac{17}{3}$ をとり, $x = 3$ で極小値 $-5$ をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$F(x)$ を微分する。積分区間に $x$ が含まれているので、微積分学の基本定理を用いる。

$F'(x) = ax^2 + bx + c$

極値を持つ条件より、$F'(-1) = 0$ かつ $F'(3) = 0$ である。したがって、

$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0$

$a(3)^2 + b(3) + c = 0$

すなわち、

$a - b + c = 0$ (1)

$9a + 3b + c = 0$ (2)

(2) - (1) より、

$8a + 4b = 0$

$2a + b = 0$

$b = -2a$ (3)

(3) を (1) に代入すると、

$a - (-2a) + c = 0$

$3a + c = 0$

$c = -3a$ (4)

次に、 $F(x)$ に $x = -1$ を代入すると、$F(-1) = \frac{17}{3}$。また、$x = 3$ を代入すると、$F(3) = -5$。

$F(x) = \int_0^x (at^2 + bt + c) dt + d = \left[ \frac{at^3}{3} + \frac{bt^2}{2} + ct \right]_0^x + d = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx + d$

$F(-1) = \frac{a(-1)^3}{3} + \frac{b(-1)^2}{2} + c(-1) + d = -\frac{a}{3} + \frac{b}{2} - c + d = \frac{17}{3}$ (5)

$F(3) = \frac{a(3)^3}{3} + \frac{b(3)^2}{2} + c(3) + d = 9a + \frac{9b}{2} + 3c + d = -5$ (6)

(5) に (3), (4) を代入すると、

$-\frac{a}{3} + \frac{-2a}{2} - (-3a) + d = \frac{17}{3}$

$-\frac{a}{3} - a + 3a + d = \frac{17}{3}$

$\frac{5a}{3} + d = \frac{17}{3}$

$5a + 3d = 17$ (7)

(6) に (3), (4) を代入すると、

$9a + \frac{9(-2a)}{2} + 3(-3a) + d = -5$

$9a - 9a - 9a + d = -5$

$-9a + d = -5$

$d = 9a - 5$ (8)

(8) を (7) に代入すると、

$5a + 3(9a - 5) = 17$

$5a + 27a - 15 = 17$

$32a = 32$

$a = 1$

$b = -2a = -2(1) = -2$

$c = -3a = -3(1) = -3$

$d = 9a - 5 = 9(1) - 5 = 4$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -2$

$c = -3$

$d = 4$