全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ が与えられており、それぞれの要素の個数が $n(U) = 100$, $n(A \cup B) = 85$, $n(A \cap B) = 20$, $n(A \cap \overline{B}) = 45$ である。このとき、$B$ の要素の個数 $n(B)$ を求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ が与えられており、それぞれの要素の個数が $n(U) = 100$, $n(A \cup B) = 85$, $n(A \cap B) = 20$, $n(A \cap \overline{B}) = 45$ である。このとき、$B$ の要素の個数 $n(B)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$n(A)$ を求める。$n(A \cap \overline{B})$ は $A$ に含まれていて $B$ に含まれていない要素の個数であるから、$A$ は $A \cap B$ と $A \cap \overline{B}$ に分割できる。したがって、

$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$

$n(A) = 20 + 45 = 65$

次に、包含と排除の原理（包除原理）を用いて、$n(A \cup B)$ を計算する。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

この式を変形して $n(B)$ を求める。

$n(B) = n(A \cup B) - n(A) + n(A \cap B)$

与えられた値を代入すると、

$n(B) = 85 - 65 + 20$

$n(B) = 40$

3. 最終的な答え

$n(B) = 40$