次の数列の第k項 $a_k$ と、初項から第n項までの和 $S_n$ を求めます。数列は $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ で与えられています。

1. 問題の内容

次の数列の第k項 $a_k$ と、初項から第n項までの和 $S_n$ を求めます。数列は $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ で与えられています。

2. 解き方の手順

数列の第k項 $a_k$ は、初項1、公比3の等比数列の初項から第k項までの和であることに注目します。等比数列の和の公式を利用して $a_k$ を求めます。

$a_k = \sum_{i=0}^{k-1} 3^i = \frac{1 - 3^k}{1 - 3} = \frac{3^k - 1}{2}$

次に、初項から第n項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (3^k - 1) = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 3^k$ は初項3、公比3の等比数列の初項から第n項までの和なので、

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

また、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{2} - n) = \frac{3(3^n - 1) - 2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

3. 最終的な答え

第k項 $a_k$ は、

$a_k = \frac{3^k - 1}{2}$

初項から第n項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$