与えられた行列の積を計算する問題です。

はい、承知いたしました。行列計算の問題ですね。問題を番号順に解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた行列の積を計算する問題です。

2. 解き方の手順

行列の積は、左側の行列の行と右側の行列の列の内積を計算することで求められます。

例えば、2x2行列 A と B の積は次のようになります。

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}$

各問題について、この手順に従って計算します。

いくつか例を示します。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1*1 + 0*2 & 1*2 + 0*1 \\ 2*1 + 3*2 & 2*2 + 3*1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1*4 + (-1)*(-2) & 1*1 + (-1)*0 \\ 2*4 + 3*(-2) & 2*1 + 3*0 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1*3 + (-2)*2 & 1*(-1) + (-2)*1 \\ -3*3 + 4*2 & -3*(-1) + 4*1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1*(-1) + 3*0 & 1*2 + 3*4 \\ 0*(-1) + 2*0 & 0*2 + 2*4 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} -1 & 14 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1*0 + 2*1 & 1*1 + 2*0 \\ 3*0 + 4*1 & 3*1 + 4*0 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 3*2 + 0*(-3) & 3*(-1) + 0*4 \\ 0*2 + 3*(-3) & 0*(-1) + 3*4 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -9 & 12 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1*a + 0*c & 1*b + 0*d \\ 0*a + 1*c & 0*b + 1*d \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

(8) $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} a*1 + b*0 & a*0 + b*1 \\ c*1 + d*0 & c*0 + d*1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

(9) $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 0*a + 0*c & 0*b + 0*d \\ 0*a + 0*c & 0*b + 0*d \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2)-1 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1*2 + 2*3 \\ 3*2 + 4*3 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix}$

(2)-2 $\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 2*0 + (-3)*1 \\ 4*0 + 0*1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)-3 $\begin{pmatrix} 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 2*3 + 5*(-1) & 2*(-2) + 5*2 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1 & 6 \end{pmatrix}$

(2)-4 $\begin{pmatrix} 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1*(-2) + (-3)*1 & 1*2 + (-3)*3 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} -5 & -7 \end{pmatrix}$

(2)-5 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1*a + 0*b \\ 0*a + 1*b \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

(2)-6 $\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} a*0 + b*0 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}$

(2)-2 $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} -1*3 + 0*-1 \\ 3*3 + 2*-1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}$

(2)-4 $\begin{pmatrix} 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 3*1 + 1*3 & 3*2 + 1*(-2) \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 6 & 4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} -1 & 14 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -9 & 12 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

(8) $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

(9) $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2)-1 $\begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix}$

(2)-2 $\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)-3 $\begin{pmatrix} 1 & 6 \end{pmatrix}$

(2)-4 $\begin{pmatrix} -5 & -7 \end{pmatrix}$

(2)-5 $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

(2)-6 $\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}$

(2)-2 $\begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}$

(2)-4 $\begin{pmatrix} 6 & 4 \end{pmatrix}$

上記の通りです。