異なる色の9個の玉を、指定された個数ずつの組に分ける場合の数を求めます。問題は全部で4つあります。 (1) 9個の玉を4個、3個、2個の3つの組に分ける。 (2) 9個の玉をA, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。 (3) 9個の玉を3個ずつの3つの組に分ける。 (4) 9個の玉を2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、指定された個数ずつの組に分ける場合の数を求めます。問題は全部で4つあります。

(1) 9個の玉を4個、3個、2個の3つの組に分ける。

(2) 9個の玉をA, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。

(3) 9個の玉を3個ずつの3つの組に分ける。

(4) 9個の玉を2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 9個の玉から4個を選び、残りの5個から3個を選び、最後に残った2個を1つの組とする。

$\binom{9}{4} \times \binom{5}{3} \times \binom{2}{2} = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260$

(2) 9個の玉からAの組に3個選び、残りの6個からBの組に3個選び、最後に残った3個をCの組とする。

$\binom{9}{3} \times \binom{6}{3} \times \binom{3}{3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$

(3) 9個の玉を3個ずつの3つの組に分ける。組に区別がないため、(2)の場合の数を組の数の階乗で割る必要がある。

$\frac{\binom{9}{3} \times \binom{6}{3} \times \binom{3}{3}}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$

(4) 9個の玉を2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。まず、9個から2個選び、残り7個から2個選び、残り5個から2個選び、最後に残った3個を1つの組とする。2個の組が3つあり、区別がないので、3!で割る必要がある。

$\frac{\binom{9}{2} \times \binom{7}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{3}}{3!} = \frac{\frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!} \times \frac{5!}{2!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3!} = \frac{\frac{9!}{2!2!2!3!}}{3!} = \frac{9!}{2!2!2!3!3!} = \frac{362880}{8 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{288} = 1260$

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 1260通り