与えられた式 $(3\sqrt{10} - 4\sqrt{5})^2$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(3\sqrt{10} - 4\sqrt{5})^2$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を用いて展開します。

$a = 3\sqrt{10}$, $b = 4\sqrt{5}$ とすると、

$(3\sqrt{10} - 4\sqrt{5})^2 = (3\sqrt{10})^2 - 2(3\sqrt{10})(4\sqrt{5}) + (4\sqrt{5})^2$

それぞれの項を計算します。

$(3\sqrt{10})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$

$2(3\sqrt{10})(4\sqrt{5}) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = 24\sqrt{50} = 24\sqrt{25 \cdot 2} = 24 \cdot 5\sqrt{2} = 120\sqrt{2}$

$(4\sqrt{5})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$

したがって、

$(3\sqrt{10} - 4\sqrt{5})^2 = 90 - 120\sqrt{2} + 80 = 170 - 120\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$170 - 120\sqrt{2}$