問題は2つあります。 (1) $1, \frac{1}{3}, (\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^4$ の等比数列の和 $S$ を求めます。 (2) $2, 6, 18, 54, ...$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $1, \frac{1}{3}, (\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^4$ の等比数列の和 $S$ を求めます。

(2) $2, 6, 18, 54, ...$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式を使います。初項 $a = 1$, 公比 $r = \frac{1}{3}$, 項数 $n = 5$ です。

等比数列の和の公式は $S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ です。

$S = \frac{1(1-(\frac{1}{3})^5)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1-\frac{1}{243}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = \frac{242}{243} \times \frac{3}{2} = \frac{121}{81}$

(2) 初項 $a = 2$, 公比 $r = \frac{6}{2} = 3$ です。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ を使います。

$S_n = \frac{2(3^n-1)}{3-1} = \frac{2(3^n-1)}{2} = 3^n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{121}{81}$

(2) $3^n - 1$