与えられた条件について、必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもないかを判断する問題です。具体的には、以下の3つの命題について考えます。 (1) $x = 2$ は $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるための（ ）。 (2) $ac = bc$ は $a = b$ であるための（ ）。 (3) $a = b$ は $a^2 + b^2 = 2ab$ であるための（ ）。 選択肢は以下の通りです。 (ア) 必要十分条件である (イ) 必要条件であるが十分条件ではない (ウ) 十分条件であるが必要条件ではない (エ) 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

与えられた条件について、必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもないかを判断する問題です。具体的には、以下の3つの命題について考えます。

(1) $x = 2$ は $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるための（ ）。

(2) $ac = bc$ は $a = b$ であるための（ ）。

(3) $a = b$ は $a^2 + b^2 = 2ab$ であるための（ ）。

選択肢は以下の通りです。

(ア) 必要十分条件である

(イ) 必要条件であるが十分条件ではない

(ウ) 十分条件であるが必要条件ではない

(エ) 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $x = 2$ は $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるための（ ）。

- まず、$x^2 - 5x + 6 = 0$ を解きます。

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$

よって、$x = 2$ または $x = 3$。

- $x=2$ ならば $x^2 - 5x + 6 = 0$ は真である。

- $x^2 - 5x + 6 = 0$ ならば $x=2$ は偽である（$x=3$の場合がある）。

したがって、$x=2$ は $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

(2) $ac = bc$ は $a = b$ であるための（ ）。

- $ac = bc$ より $ac - bc = 0$

$c(a - b) = 0$

よって、$c = 0$ または $a = b$。

- $a=b$ ならば $ac=bc$ は真である。

- $ac=bc$ ならば $a=b$ は偽である ($c=0$ かつ $a \neq b$ の場合)。例えば、$a=1$, $b=2$, $c=0$ のとき、$ac=0$, $bc=0$ となり、$ac=bc$は成り立つが、$a=b$ は成り立たない。

したがって、$ac = bc$ は $a = b$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

(3) $a = b$ は $a^2 + b^2 = 2ab$ であるための（ ）。

- $a=b$ ならば、$a^2+b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ および $2ab = 2a^2$ より、$a^2+b^2 = 2ab$ は真である。

- $a^2 + b^2 = 2ab$ より、$a^2 - 2ab + b^2 = 0$

$(a - b)^2 = 0$

よって、$a = b$。

したがって、$a = b$ は $a^2 + b^2 = 2ab$ であるための必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) ウ

(2) イ

(3) ア