横が縦より7cm長い長方形の厚紙の4隅から一辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ると、容積が120 $cm^3$ になりました。このとき、はじめの厚紙の縦の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

横が縦より7cm長い長方形の厚紙の4隅から一辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ると、容積が120 $cm^3$ になりました。このとき、はじめの厚紙の縦の長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

はじめの厚紙の縦の長さを $x$ cmとすると、横の長さは $(x+7)$ cmとなります。

4隅から1辺が2cmの正方形を切り取って作った直方体の容器の高さは2cmです。

容器の底面の縦の長さは $(x-4)$ cm、横の長さは $(x+7-4) = (x+3)$ cmとなります。

容器の容積は $2(x-4)(x+3)$ $cm^3$ であり、これが120 $cm^3$ に等しいので、次の方程式が成り立ちます。

$2(x-4)(x+3) = 120$

方程式を解きます。

$(x-4)(x+3) = 60$

$x^2 -x -12 = 60$

$x^2 -x -72 = 0$

$(x-9)(x+8) = 0$

$x = 9$ または $x = -8$

$x$ は長さを表すので、$x > 0$ である必要があります。

したがって、$x = 9$ となります。

3. 最終的な答え

9 cm