四角形ABCDは円に内接する。対角線ACとBDの交点をEとする。$\angle ACB = \angle ACD$, $BC=5$, $AC=7$, $CD=2$のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\angle ACB$ (2) $AB$ (3) 円の半径$R$ (4) $BD$ (5) $AE:EC$

幾何学円に内接する四角形角の二等分線の定理相似余弦定理正弦定理
2025/5/25

1. 問題の内容

四角形ABCDは円に内接する。対角線ACとBDの交点をEとする。ACB=ACD\angle ACB = \angle ACD, BC=5BC=5, AC=7AC=7, CD=2CD=2のとき、以下の値を求めよ。
(1) ACB\angle ACB
(2) ABAB
(3) 円の半径RR
(4) BDBD
(5) AE:ECAE:EC

2. 解き方の手順

(1) ACB\angle ACBの計算:
ACB=ACD\angle ACB = \angle ACDなので、CAはBCD\angle BCDの二等分線である。
BCD\triangle BCDにおいて角の二等分線の定理より、
BC:CD=BE:EDBC:CD = BE:ED
5:2=BE:ED5:2 = BE:ED
ここで、BAC=BDC\angle BAC = \angle BDC(円周角の定理)、ACB=ACD\angle ACB = \angle ACDなので、ABC\triangle ABCEDC\triangle EDCは相似である。
よって、AB:ED=BC:CD=AC:ECAB:ED = BC:CD = AC:EC
AB:EC=BC:CD=5:2AB:EC = BC:CD = 5:2
AB=52ECAB = \frac{5}{2}EC
また、BCE\triangle BCEADE\triangle ADEも相似である。
BE:AE=CE:DEBE:AE = CE:DE
AECE=BEDEAE \cdot CE = BE \cdot DE
方べきの定理より、AEEC=BEEDAE \cdot EC = BE \cdot ED
BEED=AEEC=52\frac{BE}{ED} = \frac{AE}{EC} = \frac{5}{2}
ABC\triangle ABCにおいて、余弦定理より、
AB2=AC2+BC22ACBCcos(ACB)AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos(\angle ACB)
ACD\triangle ACDにおいて、余弦定理より、
AD2=AC2+CD22ACCDcos(ACD)AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cos(\angle ACD)
ACB=ACD=θ\angle ACB = \angle ACD = \thetaとする。cosθ\cos \thetaを求める。
BCD\triangle BCDにおいて、余弦定理より、
BD2=BC2+CD22BCCDcos(BCD)BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cos(\angle BCD)
BD2=52+22252cos(2θ)BD^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cos(2\theta)
BD2=2920cos(2θ)BD^2 = 29 - 20\cos(2\theta)
BD2=2920(2cos2θ1)BD^2 = 29 - 20(2\cos^2\theta - 1)
BD2=4940cos2θBD^2 = 49 - 40\cos^2\theta
(2) ABABの計算:
ABCEDC\triangle ABC \sim \triangle EDCより、AB:ED=BC:CD=AC:EC=5:2AB:ED = BC:CD = AC:EC = 5:2。よって、EC=25AC=257=145EC = \frac{2}{5}AC = \frac{2}{5} \cdot 7 = \frac{14}{5}
ABC\triangle ABCEDC\triangle EDCの相似比は5:25:2なので、
AB/CD=5/2AB/CD = 5/2 より、AB=(5/2)2=5AB = (5/2) \cdot 2 = 5.
AE/CE=5/2AE/CE = 5/2なので、AE=(5/2)(14/5)=7AE = (5/2) \cdot (14/5) = 7.
したがって、AC=AE+EC=7+14/5=35/5+14/5=49/5AC = AE + EC = 7 + 14/5 = 35/5 + 14/5 = 49/5.
これはAC=7AC=7と矛盾する。
ACB=θ\angle ACB = \thetaとすると、cosθ=AC2+BC2AB22ACBC=49+25AB2275=74AB270\cos\theta = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{49 + 25 - AB^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{74 - AB^2}{70}
cosθ=AC2+CD2AD22ACCD=49+4AD2272=53AD228\cos\theta = \frac{AC^2 + CD^2 - AD^2}{2 \cdot AC \cdot CD} = \frac{49 + 4 - AD^2}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{53 - AD^2}{28}
74AB270=53AD228\frac{74 - AB^2}{70} = \frac{53 - AD^2}{28}
ACB=60\angle ACB = 60^{\circ}と仮定すると、AB2=72+52275cos60=49+2527512=7435=39AB^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60^{\circ} = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
AB=39AB = \sqrt{39}
AD2=72+22272cos60=49+427212=5314=39AD^2 = 7^2 + 2^2 - 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot \cos 60^{\circ} = 49 + 4 - 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 53 - 14 = 39
AD=39AD = \sqrt{39}
(3) 円の半径RRの計算:
正弦定理より、ABsinACB=2R\frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R
2R=39sin60=393/2=2393=21333=2132R = \frac{\sqrt{39}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{13}\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{13}
R=13R = \sqrt{13}
(4) BDBDの計算:
BCD\triangle BCDにおいて、余弦定理より、BD2=BC2+CD22BCCDcos(2θ)BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(2\theta)
BD2=52+22252cos(120)=25+420(12)=29+10=39BD^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \cos(120^{\circ}) = 25 + 4 - 20 \cdot (-\frac{1}{2}) = 29 + 10 = 39
BD=39BD = \sqrt{39}
(5) AE:ECAE:ECの計算:
ABCEDC\triangle ABC \sim \triangle EDCより、BC/CD=AC/EC=AB/ED=5/2BC/CD = AC/EC = AB/ED = 5/2
EC=(2/5)AC=(2/5)7=14/5EC = (2/5)AC = (2/5) \cdot 7 = 14/5
AE=ACEC=714/5=35/514/5=21/5AE = AC - EC = 7 - 14/5 = 35/5 - 14/5 = 21/5
AE:EC=(21/5):(14/5)=21:14=3:2AE:EC = (21/5):(14/5) = 21:14 = 3:2

3. 最終的な答え

(1) ACB=60\angle ACB = 60
(2) AB=39AB = \sqrt{39}
(3) 円の半径R=13R = \sqrt{13}
(4) BD=39BD = \sqrt{39}
(5) AE:EC=3:2AE:EC = 3:2

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