四角形ABCDは円に内接する。対角線ACとBDの交点をEとする。$\angle ACB = \angle ACD$, $BC=5$, $AC=7$, $CD=2$のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\angle ACB$ (2) $AB$ (3) 円の半径$R$ (4) $BD$ (5) $AE:EC$

幾何学円に内接する四角形角の二等分線の定理相似余弦定理正弦定理
2025/5/25

1. 問題の内容

四角形ABCDは円に内接する。対角線ACとBDの交点をEとする。ACB=ACD\angle ACB = \angle ACD, BC=5BC=5, AC=7AC=7, CD=2CD=2のとき、以下の値を求めよ。
(1) ACB\angle ACB
(2) ABAB
(3) 円の半径RR
(4) BDBD
(5) AE:ECAE:EC

2. 解き方の手順

(1) ACB\angle ACBの計算:
ACB=ACD\angle ACB = \angle ACDなので、CAはBCD\angle BCDの二等分線である。
BCD\triangle BCDにおいて角の二等分線の定理より、
BC:CD=BE:EDBC:CD = BE:ED
5:2=BE:ED5:2 = BE:ED
ここで、BAC=BDC\angle BAC = \angle BDC(円周角の定理)、ACB=ACD\angle ACB = \angle ACDなので、ABC\triangle ABCEDC\triangle EDCは相似である。
よって、AB:ED=BC:CD=AC:ECAB:ED = BC:CD = AC:EC
AB:EC=BC:CD=5:2AB:EC = BC:CD = 5:2
AB=52ECAB = \frac{5}{2}EC
また、BCE\triangle BCEADE\triangle ADEも相似である。
BE:AE=CE:DEBE:AE = CE:DE
AECE=BEDEAE \cdot CE = BE \cdot DE
方べきの定理より、AEEC=BEEDAE \cdot EC = BE \cdot ED
BEED=AEEC=52\frac{BE}{ED} = \frac{AE}{EC} = \frac{5}{2}
ABC\triangle ABCにおいて、余弦定理より、
AB2=AC2+BC22ACBCcos(ACB)AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos(\angle ACB)
ACD\triangle ACDにおいて、余弦定理より、
AD2=AC2+CD22ACCDcos(ACD)AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cos(\angle ACD)
ACB=ACD=θ\angle ACB = \angle ACD = \thetaとする。cosθ\cos \thetaを求める。
BCD\triangle BCDにおいて、余弦定理より、
BD2=BC2+CD22BCCDcos(BCD)BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cos(\angle BCD)
BD2=52+22252cos(2θ)BD^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cos(2\theta)
BD2=2920cos(2θ)BD^2 = 29 - 20\cos(2\theta)
BD2=2920(2cos2θ1)BD^2 = 29 - 20(2\cos^2\theta - 1)
BD2=4940cos2θBD^2 = 49 - 40\cos^2\theta
(2) ABABの計算:
ABCEDC\triangle ABC \sim \triangle EDCより、AB:ED=BC:CD=AC:EC=5:2AB:ED = BC:CD = AC:EC = 5:2。よって、EC=25AC=257=145EC = \frac{2}{5}AC = \frac{2}{5} \cdot 7 = \frac{14}{5}
ABC\triangle ABCEDC\triangle EDCの相似比は5:25:2なので、
AB/CD=5/2AB/CD = 5/2 より、AB=(5/2)2=5AB = (5/2) \cdot 2 = 5.
AE/CE=5/2AE/CE = 5/2なので、AE=(5/2)(14/5)=7AE = (5/2) \cdot (14/5) = 7.
したがって、AC=AE+EC=7+14/5=35/5+14/5=49/5AC = AE + EC = 7 + 14/5 = 35/5 + 14/5 = 49/5.
これはAC=7AC=7と矛盾する。
ACB=θ\angle ACB = \thetaとすると、cosθ=AC2+BC2AB22ACBC=49+25AB2275=74AB270\cos\theta = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{49 + 25 - AB^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{74 - AB^2}{70}
cosθ=AC2+CD2AD22ACCD=49+4AD2272=53AD228\cos\theta = \frac{AC^2 + CD^2 - AD^2}{2 \cdot AC \cdot CD} = \frac{49 + 4 - AD^2}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{53 - AD^2}{28}
74AB270=53AD228\frac{74 - AB^2}{70} = \frac{53 - AD^2}{28}
ACB=60\angle ACB = 60^{\circ}と仮定すると、AB2=72+52275cos60=49+2527512=7435=39AB^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60^{\circ} = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
AB=39AB = \sqrt{39}
AD2=72+22272cos60=49+427212=5314=39AD^2 = 7^2 + 2^2 - 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot \cos 60^{\circ} = 49 + 4 - 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 53 - 14 = 39
AD=39AD = \sqrt{39}
(3) 円の半径RRの計算:
正弦定理より、ABsinACB=2R\frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R
2R=39sin60=393/2=2393=21333=2132R = \frac{\sqrt{39}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{13}\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{13}
R=13R = \sqrt{13}
(4) BDBDの計算:
BCD\triangle BCDにおいて、余弦定理より、BD2=BC2+CD22BCCDcos(2θ)BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(2\theta)
BD2=52+22252cos(120)=25+420(12)=29+10=39BD^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \cos(120^{\circ}) = 25 + 4 - 20 \cdot (-\frac{1}{2}) = 29 + 10 = 39
BD=39BD = \sqrt{39}
(5) AE:ECAE:ECの計算:
ABCEDC\triangle ABC \sim \triangle EDCより、BC/CD=AC/EC=AB/ED=5/2BC/CD = AC/EC = AB/ED = 5/2
EC=(2/5)AC=(2/5)7=14/5EC = (2/5)AC = (2/5) \cdot 7 = 14/5
AE=ACEC=714/5=35/514/5=21/5AE = AC - EC = 7 - 14/5 = 35/5 - 14/5 = 21/5
AE:EC=(21/5):(14/5)=21:14=3:2AE:EC = (21/5):(14/5) = 21:14 = 3:2

3. 最終的な答え

(1) ACB=60\angle ACB = 60
(2) AB=39AB = \sqrt{39}
(3) 円の半径R=13R = \sqrt{13}
(4) BD=39BD = \sqrt{39}
(5) AE:EC=3:2AE:EC = 3:2

「幾何学」の関連問題

半径1の円に内接する二等辺三角形ABCがあり、$AB = AC$である。$\angle BAC = 2\theta$ (単位はラジアン)とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\triangle ...

三角比最大値微分二等辺三角形
2025/5/28

与えられた二次関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフを描く問題です。

二次関数グラフ放物線
2025/5/28

xy平面上に円O: $x^2+y^2=9$ と円C: $(x-5\sqrt{2})^2+y^2=4$ があり、点(a, a)を中心とする円Pがある。円Oは円Pに内接し、円Cは円Pに外接する。また、円O...

接線内接外接座標平面
2025/5/28

半径 $r$、高さ $h$ の円柱 A がある。円柱 A の底面の半径を 2 倍にし、高さを半分にした円柱 B をつくるとき、円柱 B の体積は円柱 A の体積の何倍になるかを求める問題です。

体積円柱相似
2025/5/28

画像に示された2つの放物線 $y = x^2$ と $y = \frac{1}{4}x^2$ のグラフが与えられています。問題文が提供されていないため、具体的に何を求めるのか不明です。ここでは、これら...

放物線グラフ二次関数
2025/5/28

点Qが直線 $y = x + 2$ 上を動くとき、点A(1, 6)と点Qを結ぶ線分AQを2:1に内分する点Pの軌跡を求める問題です。

軌跡内分点直線
2025/5/28

円 $C: x^2 + y^2 - 6x - 4 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 円Cの中心の座標と半径を求めます。 (2) 円C上の点A(1, 3)における接線lの方程式を求めま...

接線座標対称な点
2025/5/28

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{3}, BC = BF = 1$である。 (1) $\cos \angle AFC$と$\triangle AFC$の面積$S$を求めよ。 (...

空間図形直方体三角錐余弦定理体積
2025/5/28

2つの直線 $x - y + 2 = 0$ と $\sqrt{3}x + y - 3 = 0$ がなす鋭角を求めよ。

直線角度三角関数傾き
2025/5/28

$\triangle ABC$において、$AB=AC=a$, $\angle BAC=120^\circ$とする。点$P$が辺$AC$上を動くとき、$PB^2 + PC^2$の最小値を求めよ。

三角形最小値座標平面三角比
2025/5/28