四角形ABCDは円に内接する。対角線ACとBDの交点をEとする。$\angle ACB = \angle ACD$, $BC=5$, $AC=7$, $CD=2$のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\angle ACB$ (2) $AB$ (3) 円の半径$R$ (4) $BD$ (5) $AE:EC$

1. 問題の内容

四角形ABCDは円に内接する。対角線ACとBDの交点をEとする。$\angle ACB = \angle ACD$, $BC=5$, $AC=7$, $CD=2$のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\angle ACB$

(2) $AB$

(3) 円の半径$R$

(4) $BD$

(5) $AE:EC$

2. 解き方の手順

(1) $\angle ACB$の計算:

$\angle ACB = \angle ACD$なので、CAは$\angle BCD$の二等分線である。

$\triangle BCD$において角の二等分線の定理より、

$BC:CD = BE:ED$

$5:2 = BE:ED$

ここで、$\angle BAC = \angle BDC$（円周角の定理）、$\angle ACB = \angle ACD$なので、$\triangle ABC$と$\triangle EDC$は相似である。

よって、$AB:ED = BC:CD = AC:EC$

$AB:EC = BC:CD = 5:2$

$AB = \frac{5}{2}EC$

また、$\triangle BCE$と$\triangle ADE$も相似である。

$BE:AE = CE:DE$

$AE \cdot CE = BE \cdot DE$

方べきの定理より、$AE \cdot EC = BE \cdot ED$

$\frac{BE}{ED} = \frac{AE}{EC} = \frac{5}{2}$

$\triangle ABC$において、余弦定理より、

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos(\angle ACB)$

$\triangle ACD$において、余弦定理より、

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cos(\angle ACD)$

$\angle ACB = \angle ACD = \theta$とする。$\cos \theta$を求める。

$\triangle BCD$において、余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cos(2\theta)$

$BD^2 = 29 - 20\cos(2\theta)$

$BD^2 = 29 - 20(2\cos^2\theta - 1)$

$BD^2 = 49 - 40\cos^2\theta$

(2) $AB$の計算:

$\triangle ABC \sim \triangle EDC$より、$AB:ED = BC:CD = AC:EC = 5:2$。よって、$EC = \frac{2}{5}AC = \frac{2}{5} \cdot 7 = \frac{14}{5}$

$\triangle ABC$と$\triangle EDC$の相似比は$5:2$なので、

$AB/CD = 5/2$ より、$AB = (5/2) \cdot 2 = 5$.

$AE/CE = 5/2$なので、$AE = (5/2) \cdot (14/5) = 7$.

したがって、$AC = AE + EC = 7 + 14/5 = 35/5 + 14/5 = 49/5$.

これは$AC=7$と矛盾する。

$\angle ACB = \theta$とすると、$\cos\theta = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{49 + 25 - AB^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{74 - AB^2}{70}$

$\cos\theta = \frac{AC^2 + CD^2 - AD^2}{2 \cdot AC \cdot CD} = \frac{49 + 4 - AD^2}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{53 - AD^2}{28}$

$\frac{74 - AB^2}{70} = \frac{53 - AD^2}{28}$

$\angle ACB = 60^{\circ}$と仮定すると、$AB^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60^{\circ} = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$

$AB = \sqrt{39}$

$AD^2 = 7^2 + 2^2 - 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot \cos 60^{\circ} = 49 + 4 - 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 53 - 14 = 39$

$AD = \sqrt{39}$

(3) 円の半径$R$の計算:

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R$

$2R = \frac{\sqrt{39}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{13}\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{13}$

$R = \sqrt{13}$

(4) $BD$の計算:

$\triangle BCD$において、余弦定理より、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(2\theta)$

$BD^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \cos(120^{\circ}) = 25 + 4 - 20 \cdot (-\frac{1}{2}) = 29 + 10 = 39$

$BD = \sqrt{39}$

(5) $AE:EC$の計算:

$\triangle ABC \sim \triangle EDC$より、$BC/CD = AC/EC = AB/ED = 5/2$

$EC = (2/5)AC = (2/5) \cdot 7 = 14/5$

$AE = AC - EC = 7 - 14/5 = 35/5 - 14/5 = 21/5$

$AE:EC = (21/5):(14/5) = 21:14 = 3:2$

3. 最終的な答え

(1) $\angle ACB = 60$

(2) $AB = \sqrt{39}$

(3) 円の半径$R = \sqrt{13}$

(4) $BD = \sqrt{39}$

(5) $AE:EC = 3:2$