四角形ABCDは円に内接する。対角線ACとBDの交点をEとする。$\angle ACB = \angle ACD$, $BC=5$, $AC=7$, $CD=2$のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\angle ACB$ (2) $AB$ (3) 円の半径$R$ (4) $BD$ (5) $AE:EC$
2025/5/25
1. 問題の内容
四角形ABCDは円に内接する。対角線ACとBDの交点をEとする。, , , のとき、以下の値を求めよ。
(1)
(2)
(3) 円の半径
(4)
(5)
2. 解き方の手順
(1) の計算:
なので、CAはの二等分線である。
において角の二等分線の定理より、
ここで、(円周角の定理)、なので、とは相似である。
よって、
また、とも相似である。
方べきの定理より、
において、余弦定理より、
において、余弦定理より、
とする。を求める。
において、余弦定理より、
(2) の計算:
より、。よって、
との相似比はなので、
より、.
なので、.
したがって、.
これはと矛盾する。
とすると、
と仮定すると、
(3) 円の半径の計算:
正弦定理より、
(4) の計算:
において、余弦定理より、
(5) の計算:
より、
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3) 円の半径
(4)
(5)