xy平面上に円O: $x^2+y^2=9$ と円C: $(x-5\sqrt{2})^2+y^2=4$ があり、点(a, a)を中心とする円Pがある。円Oは円Pに内接し、円Cは円Pに外接する。また、円Oと円Cの共通接線のうち、2つの接点のy座標がいずれも負となるものを接線$l$とする。ただし、$a>0$とする。このとき、(1) $a$を求めよ。(2) 接線$l$の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上に円O: $x^2+y^2=9$ と円C: $(x-5\sqrt{2})^2+y^2=4$ があり、点(a, a)を中心とする円Pがある。円Oは円Pに内接し、円Cは円Pに外接する。また、円Oと円Cの共通接線のうち、2つの接点のy座標がいずれも負となるものを接線$l$とする。ただし、$a>0$とする。このとき、(1) $a$を求めよ。(2) 接線$l$の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円Oの半径は3、円Cの半径は2である。円Pの中心は(a, a)である。円Oと円Pが内接し、円Cと円Pが外接する。

円Oの中心(0, 0)と円Pの中心(a, a)の距離は$|3-r|$である。

円Cの中心$(5\sqrt{2}, 0)$と円Pの中心(a, a)の距離は$2+r$である。

ここで、$r$は円Pの半径である。

よって、

$\sqrt{a^2+a^2} = |3-r|$

$\sqrt{(5\sqrt{2}-a)^2+a^2} = 2+r$

$\sqrt{2}a = |3-r|$

$\sqrt{50-10\sqrt{2}a+2a^2} = 2+r$

$r<3$より、$\sqrt{2}a = 3-r$

$r=3-\sqrt{2}a$

$\sqrt{50-10\sqrt{2}a+2a^2} = 2+3-\sqrt{2}a = 5-\sqrt{2}a$

$50-10\sqrt{2}a+2a^2 = 25-10\sqrt{2}a+2a^2$

$50 = 25$

$25 = 0$

これは矛盾する。

$\sqrt{2}a = r-3$

$r = \sqrt{2}a + 3$

$\sqrt{50-10\sqrt{2}a+2a^2} = 2+\sqrt{2}a + 3 = 5+\sqrt{2}a$

$50-10\sqrt{2}a+2a^2 = 25+10\sqrt{2}a+2a^2$

$25 = 20\sqrt{2}a$

$a = \frac{25}{20\sqrt{2}} = \frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

(2) 円O: $x^2+y^2=9$ と 円C: $(x-5\sqrt{2})^2+y^2=4$ の共通接線を求める。

Oから$l$までの距離は3。Cから$l$までの距離は2。

$l$の傾きを$m$とする。$l: y = mx+k$ つまり、$mx-y+k=0$。

$\frac{|k|}{\sqrt{m^2+1}} = 3$

$\frac{|5\sqrt{2}m+k|}{\sqrt{m^2+1}} = 2$

$|k| = 3\sqrt{m^2+1}$

$|5\sqrt{2}m+k| = 2\sqrt{m^2+1}$

$k = 3\sqrt{m^2+1}$の場合

$|5\sqrt{2}m+3\sqrt{m^2+1}| = 2\sqrt{m^2+1}$

$5\sqrt{2}m+3\sqrt{m^2+1} = \pm 2\sqrt{m^2+1}$

$5\sqrt{2}m = -\sqrt{m^2+1}$ or $5\sqrt{2}m = -5\sqrt{m^2+1}$

$50m^2 = m^2+1$ or $2m^2=m^2+1$

$49m^2 = 1$ or $m^2=1$

$m = \pm \frac{1}{7}$ or $m = \pm 1$

2つの接点のy座標が負なので、$m<0$

$m=-1$のとき、$k = 3\sqrt{2}$

$y = -x+3\sqrt{2}$

$y$切片は正になるので、これは不適。

$m = -\frac{1}{7}$のとき、$k = 3\sqrt{\frac{1}{49}+1} = 3\sqrt{\frac{50}{49}} = 3\frac{5\sqrt{2}}{7} = \frac{15\sqrt{2}}{7}$

$y = -\frac{1}{7}x + \frac{15\sqrt{2}}{7}$

$k = -3\sqrt{m^2+1}$の場合

$|5\sqrt{2}m-3\sqrt{m^2+1}| = 2\sqrt{m^2+1}$

$5\sqrt{2}m-3\sqrt{m^2+1} = \pm 2\sqrt{m^2+1}$

$5\sqrt{2}m = 5\sqrt{m^2+1}$ or $5\sqrt{2}m = \sqrt{m^2+1}$

$50m^2 = 25(m^2+1)$ or $50m^2 = m^2+1$

$2m^2 = m^2+1$ or $49m^2 = 1$

$m = \pm 1$ or $m = \pm \frac{1}{7}$

$m = -1$のとき、$y = -x-3\sqrt{2}$ $y$切片は負なので、不適。

$y = -x + 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

(2) $y = -x + 5\sqrt{2}$