一辺の長さが2の正方形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとする。以下の内積を求める。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正方形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとする。以下の内積を求める。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ は垂直なので、内積は0となる。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

(2) $\overrightarrow{AB} = (0, 2)$, $\overrightarrow{AC} = (2, 2)$と考えると、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (0)(2) + (2)(2) = 0 + 4 = 4$

または、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}$

$|\overrightarrow{AB}| = 2$, $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\theta = 45^{\circ}$, $\cos{45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$

(3) $\overrightarrow{AB} = (0, 2)$, $\overrightarrow{AE} = (1, 2)$と考えると、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = (0)(1) + (2)(2) = 0 + 4 = 4$

または、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AE}| \cos{\theta}$

$|\overrightarrow{AB}| = 2$, $|\overrightarrow{AE}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{e}$とおくと、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{e}| \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e}}{|\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{e}|} = \frac{4}{2 \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

したがって、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = 2 \sqrt{5} \frac{2}{\sqrt{5}} = 4$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 4

(3) 4