立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AB、ADの中点をそれぞれP、Qとし、線分EGとFHの交点をRとする。また、三角形PQRの重心をKとするとき、点Kが対角線AG上にあることを証明する。$\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}, \vec{AE} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{AP}, \vec{AQ}, \vec{AR}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表し、さらに $\vec{AK}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表す。最後に $\vec{AK} = k \vec{AG}$ となるような定数 $k$ が存在することを示す。

1. 問題の内容

立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AB、ADの中点をそれぞれP、Qとし、線分EGとFHの交点をRとする。また、三角形PQRの重心をKとするとき、点Kが対角線AG上にあることを証明する。$\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}, \vec{AE} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{AP}, \vec{AQ}, \vec{AR}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表し、さらに $\vec{AK}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表す。最後に $\vec{AK} = k \vec{AG}$ となるような定数 $k$ が存在することを示す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AP}, \vec{AQ}, \vec{AR}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表す。

PはABの中点なので、

$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{a}$

QはADの中点なので、

$\vec{AQ} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Rは線分FHの中点なので、$\vec{AR} = \frac{1}{2}(\vec{AF}+\vec{AH})$.

$\vec{AF} = \vec{AB} + \vec{BF} = \vec{a} + \vec{c}$

$\vec{AH} = \vec{AD} + \vec{DH} = \vec{b} + \vec{c}$

よって、

$\vec{AR} = \frac{1}{2} ((\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$

次に、$\vec{AK}$を求める。Kは三角形PQRの重心なので、

$\vec{AK} = \frac{1}{3}(\vec{AP} + \vec{AQ} + \vec{AR}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

よって、

$\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AG}$

3. 最終的な答え

$\vec{AP} = \frac{1}{2} \vec{a}$

$\vec{AQ} = \frac{1}{2} \vec{b}$

$\vec{AR} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{AK} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

$\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AG}$