一辺の長さが2の正方形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとする。以下の内積を求める。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正方形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとする。以下の内積を求める。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{BC}$は垂直なので、内積は0である。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$を求める。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\angle BAC}$

正方形の一辺の長さは2なので、$|\overrightarrow{AB}| = 2$である。

また、$|\overrightarrow{AC}|$は正方形ABCDの対角線の長さなので、$|\overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{2}$である。

$\angle BAC = 45^\circ$なので、$\cos{\angle BAC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$である。

したがって、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot \frac{2}{2} = 4$

または、

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$より、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

$= |\overrightarrow{AB}|^2 + 0 = 2^2 = 4$

(3) $\overrightarrow{AE}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AD}$で表す。

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$

$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AD}$は垂直なので、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = 0 + \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = 2$