媒介変数$\theta$を用いて、$x$と$y$が以下のように表されるとき、$x$と$y$の関係式を求めよ。 $x = 3\sin 2\theta + 1$ $y = 5\cos 2\theta + 3$

1. 問題の内容

媒介変数$\theta$を用いて、$x$と$y$が以下のように表されるとき、$x$と$y$の関係式を求めよ。

$x = 3\sin 2\theta + 1$

$y = 5\cos 2\theta + 3$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の式から$\sin 2\theta$と$\cos 2\theta$をそれぞれ求めます。

$x = 3\sin 2\theta + 1$より、

$\sin 2\theta = \frac{x-1}{3}$

$y = 5\cos 2\theta + 3$より、

$\cos 2\theta = \frac{y-3}{5}$

次に、三角関数の基本公式である$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$を利用します。

$\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta = 1$に、先ほど求めた$\sin 2\theta$と$\cos 2\theta$の式を代入します。

$(\frac{x-1}{3})^2 + (\frac{y-3}{5})^2 = 1$

$\frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{25} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{25} = 1$