与えられた数式の値を計算します。数式は $\sqrt{\frac{27}{2}} \times \sqrt{80} \div \sqrt{90}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は $\sqrt{\frac{27}{2}} \times \sqrt{80} \div \sqrt{90}$ です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中身を素因数分解して簡単にします。

$\sqrt{\frac{27}{2}} = \sqrt{\frac{3^3}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{80} = \sqrt{2^4 \times 5} = 2^2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

$\sqrt{90} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 5} = 3\sqrt{10}$

与式に代入すると、

$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times 4\sqrt{5} \div 3\sqrt{10}$

$= \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{4\sqrt{5}}{3\sqrt{10}}$

$= \frac{12\sqrt{15}}{3\sqrt{20}} = \frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{20}}$

ここで、$\sqrt{20} = \sqrt{2^2 \times 5} = 2\sqrt{5}$なので、

$\frac{4\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{\frac{15}{5}} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3}$