$n^3 - 7n + 9$ が素数となるような整数 $n$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

$n^3 - 7n + 9$ が素数となるような整数 $n$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n^3 - 7n + 9$ を因数分解することを試みます。しかし、因数定理などを使ってもうまくいきません。そこで、$n$ にいくつかの整数を代入して、素数になるかどうかを調べてみます。

$n=0$ のとき、$n^3 - 7n + 9 = 0 - 0 + 9 = 9$ (素数ではない)

$n=1$ のとき、$n^3 - 7n + 9 = 1 - 7 + 9 = 3$ (素数)

$n=2$ のとき、$n^3 - 7n + 9 = 8 - 14 + 9 = 3$ (素数)

$n=3$ のとき、$n^3 - 7n + 9 = 27 - 21 + 9 = 15$ (素数ではない)

$n=-1$ のとき、$n^3 - 7n + 9 = -1 + 7 + 9 = 15$ (素数ではない)

$n=-2$ のとき、$n^3 - 7n + 9 = -8 + 14 + 9 = 15$ (素数ではない)

$n=-3$ のとき、$n^3 - 7n + 9 = -27 + 21 + 9 = 3$ (素数)

$n=1, 2, -3$ のとき $n^3 - 7n + 9 = 3$ となり、これは素数です。

$n^3-7n+9$がある整数$a$と$b$によって$ab$と表せる場合、$n^3-7n+9$が素数となるには$a=1$かつ$b$が素数、または$b=1$かつ$a$が素数となる必要があります。

ここで$n^3 - 7n + 9$を変形することを考えます。

$n^3 - 7n + 9 = n^3 - n - 6n + 9 = n(n^2 - 1) - 3(2n - 3) = n(n-1)(n+1) - 3(2n - 3)$.

次に、$n^3-7n+9=1$となる$n$を考えてみます。

$n^3 - 7n + 9 = 1$

$n^3 - 7n + 8 = 0$

$(n-1)(n^2 + n - 8) = 0$

$n=1$ または $n^2 + n - 8 = 0$。

$n^2 + n - 8 = 0$ の解は $n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$ となり、整数解ではありません。

$n^3-7n+9=p$ ($p$は素数)とおくと、

$n=1,2,-3$の時、$n^3-7n+9=3$となることがわかっています。

他の整数解を探すために、関数 $f(n) = n^3 - 7n + 9$ の増減を調べます。

$f'(n) = 3n^2 - 7$.

$f'(n) = 0$ となるのは $n = \pm \sqrt{\frac{7}{3}} \approx \pm 1.53$ のときです。

$n=1$と$n=2$の間で極小値を取り、$n=-1$と$n=-2$の間で極大値を取ります。

$n \to \infty$ のとき $f(n) \to \infty$ であり、$n \to -\infty$ のとき $f(n) \to -\infty$ です。

$n=4$ のとき、$n^3 - 7n + 9 = 64 - 28 + 9 = 45$ (素数ではない)

$n=-4$ のとき、$n^3 - 7n + 9 = -64 + 28 + 9 = -27$ (素数ではない)

したがって、素数となる $n$ は $1, 2, -3$ のみであると考えられます。

3. 最終的な答え

$n = 1, 2, -3$