三角形ABCに内接する円があり、その接点をそれぞれD, E, Fとする。線分AFの長さが$x$, 線分BFの長さが7, 線分BDの長さが10, 線分CEの長さが9であるとき、$x$の値を求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCに内接する円があり、その接点をそれぞれD, E, Fとする。線分AFの長さが$x$, 線分BFの長さが7, 線分BDの長さが10, 線分CEの長さが9であるとき、$x$の値を求める問題。

2. 解き方の手順

円の接線の性質より、円外の一点から円に引いた2本の接線の長さは等しい。

したがって、以下の関係が成り立つ。

AF = AE

BF = BD

CE = CD

問題の図から、

AF = $x$

BF = 7

BD = 10

CE = 9

接線の性質より、

AF = AE = $x$

BF = BD = 7

CE = CD = 9

BD = 10 なので、BF = BD = 7 より、これは矛盾する。問題に誤りがあるか、図が正確ではないと考えられる。しかし、図を優先すると仮定して、

BF=7, BD=10 である。これより、

CD = BC - BD = BC - 10

また、BC = BD + CDであるから、

BC = 7 + CD

したがって、

CD = 9 となるので、BC = BD + CD = 10 + 9 = 19

また、BC = BF + CF = 7 + CF

したがって、CD = 9

よって、AE = $x$, CE = 9

AC = AE + CE = $x$ + 9

AB = AF + FB = $x$ + 7

BC = BD + DC = 10 + 9 = 19

BD=BF=7が誤りであり、BD=10で考える。この場合、CD=CE=9なので、BC = BD+CD = 10+9=19。

AF = AE = $x$

BF = BD = 10

CE = CD = 9

3. 最終的な答え

$x = 7$