同じ円に外接する正三角形ABCと、内接する正三角形DEFがある。正三角形ABCの面積は、正三角形DEFの面積の何倍か？

1. 問題の内容

同じ円に外接する正三角形ABCと、内接する正三角形DEFがある。正三角形ABCの面積は、正三角形DEFの面積の何倍か？

2. 解き方の手順

まず、円の半径を$r$とする。

正三角形DEFは円に内接しているので、その一辺の長さ$x$は、$x = \sqrt{3}r$となる。

したがって、正三角形DEFの面積は、

$\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3}r)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$

正三角形ABCは円に外接しているので、その一辺の長さ$y$は、$y = 2\sqrt{3}r$となる。

したがって、正三角形ABCの面積は、

$\frac{\sqrt{3}}{4}y^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3}r)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12r^2 = 3\sqrt{3}r^2$

正三角形ABCの面積は、正三角形DEFの面積の

$\frac{3\sqrt{3}r^2}{\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2} = \frac{3}{\frac{3}{4}} = 3 \times \frac{4}{3} = 4$倍

3. 最終的な答え

4倍