$0 < a < 90^\circ$、 $90^\circ < b < 180^\circ$ の範囲において、$\tan a = 3$、$\sin b = \frac{1}{4}$のとき、$\cos(a+b)$、$\sin(a+b)$、$\tan(a+b)$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < a < 90^\circ$、 $90^\circ < b < 180^\circ$ の範囲において、$\tan a = 3$、$\sin b = \frac{1}{4}$のとき、$\cos(a+b)$、$\sin(a+b)$、$\tan(a+b)$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a$について考えます。$\tan a = 3$であることから、$\sin a$と$\cos a$の値を求めます。$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$であり、$0 < a < 90^\circ$なので、$\sin a > 0$、$\cos a > 0$です。

$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$の関係を利用します。$\tan a = 3$より$\sin a = 3\cos a$なので、$\sin^2 a = 9\cos^2 a$。

$\sin^2 a + \cos^2 a = 9\cos^2 a + \cos^2 a = 10\cos^2 a = 1$

$\cos^2 a = \frac{1}{10}$なので、$\cos a = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin a = 3\cos a = \frac{3}{\sqrt{10}}$

次に、$b$について考えます。$\sin b = \frac{1}{4}$であり、$90^\circ < b < 180^\circ$なので、$\cos b < 0$です。

$\sin^2 b + \cos^2 b = 1$の関係を利用します。

$\cos^2 b = 1 - \sin^2 b = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\cos b = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\cos(a+b)$、$\sin(a+b)$、$\tan(a+b)$を計算します。

$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b = \frac{1}{\sqrt{10}}\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) - \frac{3}{\sqrt{10}}\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\sqrt{15}}{4\sqrt{10}} - \frac{3}{4\sqrt{10}} = \frac{-\sqrt{15}-3}{4\sqrt{10}} = \frac{-\sqrt{15}-3}{4\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{-\sqrt{150} - 3\sqrt{10}}{40} = \frac{-5\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{40}$

$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b = \frac{3}{\sqrt{10}}\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) + \frac{1}{\sqrt{10}}\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{15}}{4\sqrt{10}} + \frac{1}{4\sqrt{10}} = \frac{-3\sqrt{15}+1}{4\sqrt{10}} = \frac{-3\sqrt{15}+1}{4\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{-3\sqrt{150} + \sqrt{10}}{40} = \frac{-3\cdot 5\sqrt{6} + \sqrt{10}}{40} = \frac{-15\sqrt{6}+\sqrt{10}}{40}$

$\tan(a+b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = \frac{\frac{-15\sqrt{6}+\sqrt{10}}{40}}{\frac{-5\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{40}} = \frac{-15\sqrt{6}+\sqrt{10}}{-5\sqrt{6}-3\sqrt{10}} = \frac{15\sqrt{6}-\sqrt{10}}{5\sqrt{6}+3\sqrt{10}}$

$\tan(a+b) = \frac{15\sqrt{6}-\sqrt{10}}{5\sqrt{6}+3\sqrt{10}} \cdot \frac{5\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{5\sqrt{6}-3\sqrt{10}} = \frac{15(5)(6) - 15(3)\sqrt{60} - 5\sqrt{60} + 3(10)}{25(6)-9(10)} = \frac{450 - 45\sqrt{60} - 5\sqrt{60} + 30}{150-90} = \frac{480 - 50\sqrt{60}}{60} = \frac{480 - 50(2\sqrt{15})}{60} = \frac{480 - 100\sqrt{15}}{60} = \frac{24 - 5\sqrt{15}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos(a+b) = \frac{-5\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{40}$

$\sin(a+b) = \frac{-15\sqrt{6}+\sqrt{10}}{40}$

$\tan(a+b) = \frac{24 - 5\sqrt{15}}{3}$