問題5：$x=3$ のとき、 $|x-2| + |-x-3| - |x-4|$ の値を求める。 問題6：命題「$x, y$ の少なくとも一方が偶数ならば、$xy$ は偶数である」の対偶を選ぶ。 問題7：$\triangle ABC$ において、$AB = 6, BC = 3, CA = 5$ であるとき、余弦定理を用いて $\cos \angle ABC$ の値を求める。 問題8：$\triangle ABC$ において、$AB = 3, \angle ABC = 45^\circ, \angle ACB = 30^\circ$ であるとき、正弦定理を用いて $AC$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題5：$x=3$ のとき、 $|x-2| + |-x-3| - |x-4|$ の値を求める。

問題6：命題「$x, y$ の少なくとも一方が偶数ならば、$xy$ は偶数である」の対偶を選ぶ。

問題7：$\triangle ABC$ において、$AB = 6, BC = 3, CA = 5$ であるとき、余弦定理を用いて $\cos \angle ABC$ の値を求める。

問題8：$\triangle ABC$ において、$AB = 3, \angle ABC = 45^\circ, \angle ACB = 30^\circ$ であるとき、正弦定理を用いて $AC$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題5：

$x=3$ を与えられた式に代入する。

$|3-2| + |-3-3| - |3-4| = |1| + |-6| - |-1| = 1 + 6 - 1 = 6$

問題6：

命題「$P$ ならば $Q$」の対偶は「$Q$ でないならば $P$ でない」である。

元の命題は「$x, y$ の少なくとも一方が偶数ならば、$xy$ は偶数である」である。

$P$: $x, y$ の少なくとも一方が偶数

$Q$: $xy$ は偶数

$P$ でない: $x, y$ はともに奇数

$Q$ でない: $xy$ は奇数

したがって、対偶は「$xy$ が奇数ならば、$x, y$ はともに奇数である」である。これは選択肢2に相当する。

問題7：

余弦定理より、

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$5^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos \angle ABC$

$25 = 36 + 9 - 36 \cos \angle ABC$

$36 \cos \angle ABC = 36 + 9 - 25 = 20$

$\cos \angle ABC = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

問題8：

正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}$

$\frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{3}{\sin 30^\circ}$

$AC = \frac{3 \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

問題5：6

問題6：2

問題7：$\cos \angle ABC = \frac{5}{9}$

問題8：$AC = 3\sqrt{2}$