(3) 点$(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線を求めます。 (4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求めます。

1. 問題の内容

(3) 点$(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線を求めます。

(4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求めます。

2. 解き方の手順

(3)

点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ は円 $x^2+y^2 = 1$ 上の点ではありません。この点を通る接線を求める必要があります。

接点を $(x_0, y_0)$ とすると、$x_0^2 + y_0^2 = 1$ が成り立ちます。

接線の方程式は $x_0 x + y_0 y = 1$ で表されます。

この接線が点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通るので、$x_0 \frac{\sqrt{3}}{3} + y_0 = 1$ が成り立ちます。

$y_0 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} x_0$ を $x_0^2 + y_0^2 = 1$ に代入すると、

$x_0^2 + (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} x_0)^2 = 1$

$x_0^2 + 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} x_0 + \frac{1}{3} x_0^2 = 1$

$\frac{4}{3} x_0^2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} x_0 = 0$

$x_0 (\frac{4}{3} x_0 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) = 0$

$x_0 = 0$ または $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x_0 = 0$ のとき、$y_0 = 1$ なので、接線は $y = 1$ です。

$x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y_0 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ なので、接線は $\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y = 1$、すなわち $\sqrt{3} x + y = 2$ です。

接線 $y = 1$ に対する法線は $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

接線 $\sqrt{3} x + y = 2$ に対する法線は、傾きが $\sqrt{3}$ なので、$y = \sqrt{3} x + b$ の形です。$(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通るので、$1 = \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3} + b$、 $1 = 1 + b$、$b = 0$。よって法線は $y = \sqrt{3} x$ です。

(4)

$f(x,y,z) = xy - z = 0$ とします。

$\nabla f = (f_x, f_y, f_z) = (y, x, -1)$

点 $(1, 1, 1)$ における法線ベクトルは $\nabla f (1,1,1) = (1, 1, -1)$

接平面の方程式は $(1, 1, -1) \cdot (x-1, y-1, z-1) = 0$

$(x-1) + (y-1) - (z-1) = 0$

$x + y - z - 1 = 0$

$z = x + y - 1$

法線は $(x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, 1, -1)$、つまり

$x = 1 + t$

$y = 1 + t$

$z = 1 - t$

3. 最終的な答え

(3)

接線: $y = 1$, $\sqrt{3}x + y = 2$

法線: $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $y = \sqrt{3}x$

(4)

接平面: $z = x + y - 1$

法線: $x = 1 + t$, $y = 1 + t$, $z = 1 - t$